Упр.1286 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Фигура F имеет пять осей симметрии, проходящих через противолежащие вершины, а также поворотные симметрии с центром в точке O и углом 72° по часовой стрелке и против часовой стрелки, это следует из того, что выпуклый пятиугольник является правильным, а все треугольники равны между собой;
Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что середины сторон и основания высот этого треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.

Подробный ответ

Обозначим углы треугольника $$\triangle ABC$$ так: $$\angle A=a,$$ $$\angle B=2a,$$ $$\angle C=4a.$$ Тогда

$$a+2a+4a=180^\circ,$$

откуда

$$a=\frac{180^\circ}{7},\qquad \angle B=2\cdot \frac{180^\circ}{7},\qquad \angle C=4\cdot \frac{180^\circ}{7}.$$

Внутренний угол правильного семиугольника равен

$$\beta=180^\circ-\frac{360^\circ}{7}=5\cdot \frac{180^\circ}{7}.$$

Пусть $$M,\ N,\ P$$ — середины сторон $$AA_1,\ BB_1,\ CC_1$$ соответственно, а $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ — основания высот треугольника.

Так как $$M,\ N,\ P$$ — середины сторон треугольника $$ABC,$$ то $$MN,\ NP,\ PM$$ — его средние линии. Следовательно,

$$MN=\frac12\,BC,\qquad NP=\frac12\,AC,\qquad PM=\frac12\,AB.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$BA_1CC_1.$$ У него

$$\angle BA_1C=\angle BC_1C=90^\circ,$$

значит, вокруг него можно описать окружность, причём $$BC$$ — её диаметр. Тогда центр этой окружности — точка $$P,$$ и

$$PB=PC=PA_1=PC_1=\frac12\,BC.$$

Кроме того,

$$\angle C_1PA_1=2\angle C_1BA_1=2\left(90^\circ-\angle A\right)=2\left(90^\circ-\frac{180^\circ}{7}\right)=5\cdot \frac{180^\circ}{7}=\beta.$$

Значит, в четырёхугольнике $$C_1PNM$$ угол между соседними сторонами равен $$\beta,$$ а

$$C_1P=PN=NM=MC_1=\frac12\,BC.$$

Аналогично, для четырёхугольника $$AB_1CC_1$$ можно описать окружность с диаметром $$AC,$$ её центр — точка $$N,$$ поэтому

$$NA=NB=NC=NC_1=\frac12\,AC.$$

Тогда

$$PB_1=NB=\frac12\,AC,$$

и из равенства соответствующих треугольников получаем

$$\angle PA_1B_1=\beta,\qquad A_1B_1=PA_1=\frac12\,BC.$$

Итак, все стороны многоугольника, составленного из точек $$B_1,\ A_1,\ P,\ C_1,\ M,\ N,$$ равны, а углы между соседними сторонами равны внутреннему углу правильного семиугольника $$\beta.$$ Следовательно, эти шесть точек являются вершинами правильного семиугольника.