Упр.1285 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

1) Пусть дан центр O и точки E и F на прямых AB и CD;
2) Построим отрезок EF и отметим середину G отрезка;
3) Через точки E и F проведем прямые параллельно OG;
4) В точке O построим перпендикуляр к этим прямым;
5) Отметим точки M и N на пересечениях с прямыми;
6) На прямой EM отложим отрезки AM=MB=OM;
7) На прямой FN отложим отрезки DN=CN=ON;
8) Четырехугольник ABCD-искомый квадрат. Пусть М — произвольная точка, лежащая внутри правильного n-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров, проведённых из точки М к прямым, содержащим стороны n-угольника, равна nr, где r— радиус вписанной окружности.

Подробный ответ

Пусть правильный $$n$$-угольник имеет стороны $$A_1A_2, A_2A_3, \ldots, A_nA_1$$, а из точки $$M$$ опущены перпендикуляры на прямые, содержащие эти стороны. Обозначим их длины через $$MH_1, MH_2, \ldots, MH_n$$.

Площадь правильного $$n$$-угольника можно выразить через периметр $$P$$ и радиус вписанной окружности $$r$$:

$$S_n=\frac{1}{2}Pr.$$

Так как все стороны равны, а их длина равна $$a$$, то $$P=na$$, значит

$$S_n=\frac{1}{2}nar.$$

С другой стороны, весь многоугольник разбивается на $$n$$ треугольников:

$$S_n=S_{A_1A_2M}+S_{A_2A_3M}+\cdots+S_{A_nA_1M}.$$

Площадь каждого из них равна

$$S_{A_iA_{i+1}M}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot MH_i,$$

поэтому

$$ S_n=\frac{1}{2}a(MH_1+MH_2+\cdots+MH_n). $$

Приравнивая два выражения для площади, получаем:

$$\frac{1}{2}nar=\frac{1}{2}a(MH_1+MH_2+\cdots+MH_n).$$