Упр.1283 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Решите предыдущую задачу при условии, что точки $$А$$, $$В$$ и $$С$$ являются вершинами треугольника, а равносторонние треугольники $$АВМ$$ и $$ВСN$$ построены внешним образом на его сторонах $$АВ$$ и $$ВС$$.
2. В данную окружность впишите правильный пятиугольник.

Пусть в равностороннем треугольнике $$AMB$$ точка $$O$$ — середина стороны $$AB$$. Тогда прямая $$MO$$ является медианой, высотой и биссектрисой, значит

$$MO\perp AB.$$

Аналогично, в равностороннем треугольнике $$BNC$$ точка $$O$$ — середина стороны $$BC$$, поэтому

$$NO\perp BC.$$

Так как треугольники $$AMB$$ и $$BNC$$ равносторонние, то

$$AM=AB=BM,\qquad BN=BC=CN.$$

Кроме того, поворот на $$60^\circ$$ вокруг точки $$B$$ переводит луч $$BA$$ в луч $$BM$$, а луч $$BC$$ — в луч $$BN$$. Следовательно, точка $$A$$ переходит в $$M$$, а точка $$N$$ — в $$C$$, поэтому отрезок $$AN$$ переходит в отрезок $$MC$$. Значит,

$$AN=MC.$$

Теперь рассмотрим угол $$\angle AOM$$. Поскольку $$OM\perp AB$$, а точки $$A,O,B$$ лежат на одной прямой, получаем

$$\angle AOM=\angle ABO=60^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle AOM=60^\circ.$$

Ответ: $$60^\circ$$.