Упр.128 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла — точки В и С такие, что уголADB = уголADC. Докажите, что BD = CD. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle ACD$$.

У них:

• $$AD$$ — общая сторона;
• $$\angle BAD = \angle CAD$$, так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$;
• $$\angle ADB = \angle ADC$$ по условию.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle ACD$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников получаем равенство соответствующих сторон:

$$BD = CD.$$

Докажем теперь второе утверждение.

Пусть в равных треугольниках $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ проведены биссектрисы $$AM$$ и $$A_1M_1$$ к соответственно равным сторонам.

Так как $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$, то

$$AB = A_1B_1,\quad \angle B = \angle B_1,\quad \angle A = \angle A_1.$$

Поскольку $$AM$$ и $$A_1M_1$$ — биссектрисы, имеем:

$$\angle BAM = \angle A_1B_1M_1?$$

Нет, здесь нужно сравнить треугольники $$\triangle ABM$$ и $$\triangle A_1B_1M_1$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам:

$$AB = A_1B_1,$$

$$\angle BAM = \angle B_1A_1M_1,$$

$$\angle ABM = \angle A_1B_1M_1,$$

так как соответствующие углы равных треугольников равны, а биссектрисы делят углы пополам.

Значит, $$\triangle ABM \cong \triangle A_1B_1M_1$$, откуда

$$AM = A_1M_1.$$

Ответ

$$BD = CD.$$ В равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны: $$AM = A_1M_1$$.