Упр.1277 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Допустим, что многоугольник F имеет ровно два центра симметрии: O_1 и O_2,симметрия сохраняет расстояния, тогда относительно точки O_2 центр симметрии O_1 отображается в точку O_3, также являющуюся центром симметрии, причем все три точки O_1,O_2 и O_3 различны;
Ответ: нет.
В остроугольном треугольнике ABC сторона АВ больше стороны ВС, отрезки AM и CN — высоты треугольника, точка О — центр описанной окружности. Угол ABC равен Р, а площадь четырёхугольника NOMB равна S. Найдите сторону АС.

Обозначим $$\angle ABC=\beta$$, $$O$$ — центр описанной окружности, $$R$$ — радиус этой окружности.

Так как сторона $$AC$$ стягивает угол $$\angle ABC=\beta$$, то по теореме синусов для треугольника $$ABC$$

$$\frac{AC}{\sin\beta}=2R,$$

откуда

$$AC=2R\sin\beta.$$

Найдём теперь $$R$$ через площадь $$S_{NOMB}=S$$.

Площадь четырёхугольника $$NOMB$$ равна сумме площадей треугольников $$OBN$$ и $$OBM$$:

$$S_{NOMB}=S_{OBN}+S_{OBM}.$$

Так как в треугольниках $$OBN$$ и $$OBA$$ одна и та же высота из точки $$O$$ к прямой $$AB$$, то

$$\frac{S_{OBN}}{S_{OBA}}=\frac{NB}{AB}.$$

Аналогично, для треугольников $$OBM$$ и $$OBC$$

$$\frac{S_{OBM}}{S_{OBC}}=\frac{BM}{BC}.$$

Следовательно,

$$S_{NOMB}=\frac{NB}{AB}S_{OBA}+\frac{BM}{BC}S_{OBC}.$$

Поскольку $$OA=OB=OC=R$$, то

$$S_{OBA}=\frac12 R^2\sin\angle AOB=\frac12 R^2\sin 2C,$$

$$S_{OBC}=\frac12 R^2\sin\angle BOC=\frac12 R^2\sin 2A.$$

Из подобия треугольников $$AMB$$ и $$CNB$$ получаем

$$\frac{AB}{CB}=\frac{MB}{NB}.$$

По теореме синусов в треугольнике $$ABC$$

$$\frac{AB}{CB}=\frac{\sin C}{\sin A}.$$

Кроме того, так как $$BM=AB\cos\beta$$ и $$NB=BC\cos\beta$$, то

$$\frac{NB}{AB}=\frac{\sin A}{\sin C}\cos\beta,$$

$$\frac{BM}{BC}=\frac{\sin C}{\sin A}\cos\beta.$$

Подставим это в формулу для площади:

$$ S=\frac12 R^2\cos\beta\left(\frac{\sin A}{\sin C}\sin 2C+\frac{\sin C}{\sin A}\sin 2A\right). $$

Так как $$\sin 2C=2\sin C\cos C$$ и $$\sin 2A=2\sin A\cos A$$, то

$$ S=\frac12 R^2\cos\beta\left(2\sin A\cos C+2\sin C\cos A\right) $$

$$ S=R^2\cos\beta\bigl(\sin A\cos C+\sin C\cos A\bigr) =R^2\cos\beta\sin(A+C). $$

Но $$A+C=180^\circ-\beta$$, значит

$$S=R^2\cos\beta\sin(180^\circ-\beta)=R^2\sin\beta\cos\beta=\frac{R^2}{2}\sin 2\beta.$$

Отсюда

$$R^2=\frac{2S}{\sin 2\beta}.$$

Теперь найдём $$AC$$:

$$ AC=2R\sin\beta =2\sqrt{\frac{2S}{\sin 2\beta}}\sin\beta =2\sqrt{\frac{2S\sin^2\beta}{2\sin\beta\cos\beta}} =2\sqrt{S\tan\beta}. $$

Ответ

$$AC=2\sqrt{S\tan\beta}.$$