Упр.1276 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Фигурой с бесконечным количеством центров симметрии является прямая, центром симметрии является каждая ее точка, а также полоса, центром ее симметрии является каждая точка, лежащая на прямой, равноудаленной от границ этой полосы.
В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание AD равно 3, а боковая сторона CD, не перпендикулярная к основаниям, равна 6. Точка Е — середина отрезка CD, угол СВР. равен а. Найдите площадь трапеции ABCD.

Подробный ответ

Обозначим через $$H$$ и $$K$$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $$D$$ и $$E$$ на прямую $$BC$$: $$DH \perp BC$$, $$EK \perp BC$$.

Тогда $$\angle DHC=\angle EKC=90^\circ$$, а угол при точке $$C$$ общий, значит, $$\triangle DHC \sim \triangle EKC$$.

Из подобия получаем

$$\frac{CD}{CE}=2,$$

так как $$E$$ — середина отрезка $$CD$$. Следовательно, $$EK$$ — средняя линия треугольника $$DHC$$, поэтому

$$DH=2EK.$$

Обозначим $$HK=KC=a$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$CEK$$ имеем

$$EK=\sqrt{EC^2-KC^2}=\sqrt{3^2-a^2}=\sqrt{9-a^2}.$$

С другой стороны, из прямоугольного треугольника с углом $$\angle CBE=\alpha$$:

$$\tan \alpha=\frac{DH}{BH}=\frac{DH}{BC-a}.$$

Так как $$DH=2EK$$ и $$BC=AD+HC=3+HC$$, то удобнее выразить $$a$$ через $$\alpha$$ из соотношения