Упр.1273 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите симметрии: а) правильного пятиугольника; б) правильного шестиугольника; в) правильного $$n$$-угольника.
- Выразите диагонали вписанного в окружность четырёхугольника через его стороны.
Правильный пятиугольник имеет $$5$$ осей симметрии: каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны. Кроме того, он имеет поворотную симметрию вокруг центра на угол $$\frac{360^\circ}{5}=72^\circ$$, а также на $$144^\circ$$, $$216^\circ$$ и $$288^\circ$$.
Правильный шестиугольник имеет $$6$$ осей симметрии: $$3$$ оси проходят через противоположные вершины, и $$3$$ оси — через середины противоположных сторон. Он имеет поворотную симметрию вокруг центра на углы $$60^\circ$$, $$120^\circ$$, $$180^\circ$$, $$240^\circ$$ и $$300^\circ$$. Центр шестиугольника является центром симметрии.
Правильный $$n$$-угольник имеет $$n$$ осей симметрии. Если $$n$$ нечётно, каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны. Если $$n$$ чётно, то половина осей проходит через противоположные вершины, а половина — через середины противоположных сторон. Кроме того, правильный $$n$$-угольник имеет поворотную симметрию вокруг центра на угол $$\frac{360^\circ}{n}$$ и на все кратные ему углы. При чётном $$n$$ центр многоугольника является центром симметрии.
Ответ: у правильного пятиугольника — $$5$$ осей симметрии и повороты на $$72^\circ$$; у правильного шестиугольника — $$6$$ осей симметрии, центр симметрии и повороты на $$60^\circ$$; у правильного $$n$$-угольника — $$n$$ осей симметрии и поворотная симметрия на $$\frac{360^\circ}{n}$$, а при чётном $$n$$ ещё и центр симметрии.
