Упр.1272 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сколько осей симметрии имеет правильный $$n$$-угольник?
2. Докажите, что в треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$AA_1$$ вычисляется по формуле $$AA_1=2bc\cos A/22b+c$$, где $$b=AC$$, $$c=AB$$.

Пусть $$A_1$$ — точка пересечения биссектрисы $$AA_1$$ со стороной $$BC$$. Тогда площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{ABC}=S_{ABA_1}+S_{ACA_1}.$$

С другой стороны,

$$S_{ABC}=\frac12 bc\sin A,$$

а также

$$S_{ABA_1}=\frac12 AA_1\cdot c\sin\frac A2,\qquad S_{ACA_1}=\frac12 AA_1\cdot b\sin\frac A2.$$

Тогда

$$\frac12 bc\sin A=\frac12 AA_1\cdot c\sin\frac A2+\frac12 AA_1\cdot b\sin\frac A2.$$

Умножим на $$2$$:

$$bc\sin A=AA_1(b+c)\sin\frac A2.$$

Используем формулу $$\sin A=2\sin\frac A2\cos\frac A2$$:

$$bc\cdot 2\sin\frac A2\cos\frac A2=AA_1(b+c)\sin\frac A2.$$

Сокращая на $$\sin\frac A2$$, получаем:

$$AA_1=\frac{2bc\cos\frac A2}{b+c}.$$

Что и требовалось доказать.