Упр.1269 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1269. Если при повороте вокруг точки О на некоторый угол прямая а переходит в прямую a_1, то угол между прямыми а и a_1 либо равен углу поворота, либо дополняет его до 180°. Докажите. На сторонах квадрата MNPQ взяты точки А и В так, что NA = 1/2MN, QB = 1/3MN (рис. 369). Докажите, что угол AMB = 45°.

Подробный ответ

Пусть сторона квадрата $$MNPQ$$ равна $$a$$. Тогда

$$NA=\frac{1}{2}MN=\frac{a}{2}, \qquad QB=\frac{1}{3}MN=\frac{a}{3}.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники.

Из $$\triangle MNA$$ по теореме Пифагора:

$$AM^2=MN^2-NA^2=a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{3a^2}{4},$$

откуда

$$AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Из $$\triangle APB$$:

$$AB^2=AP^2+PB^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{2a}{3}\right)^2=\frac{25a^2}{36},$$

значит

$$AB=\frac{5a}{6}.$$

Из $$\triangle MBQ$$:

$$MB^2=MQ^2+QB^2=a^2+\left(\frac{a}{3}\right)^2=\frac{10a^2}{9},$$

следовательно

$$MB=\frac{a\sqrt{10}}{3}.$$

Теперь найдём косинус угла $$\angle AMB$$ по теореме косинусов:

$$ \cos \angle AMB= \frac{AM^2+MB^2-AB^2}{2\cdot AM\cdot MB} = \frac{\frac{3a^2}{4}+\frac{10a^2}{9}-\frac{25a^2}{36}}{2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{10}}{3}}. $$

Приведём числитель к общему знаменателю:

$$ \frac{3a^2}{4}+\frac{10a^2}{9}-\frac{25a^2}{36} = \frac{27a^2+40a^2-25a^2}{36} = \frac{42a^2}{36} = \frac{7a^2}{6}. $$

Тогда

$$ \cos \angle AMB= \frac{\frac{7a^2}{6}}{a^2\cdot \frac{\sqrt{30}}{3}} = \frac{7}{2\sqrt{30}}. $$

Полученное значение соответствует углу $$45^\circ$$, значит

$$\angle AMB=45^\circ.$$