Упр.1263 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте отрезок $$A_1B_1$$, который получается из данного отрезка $$AB$$ поворотом вокруг данного центра $$O$$: а) на $$120^\circ$$ по часовой стрелке; б) на $$75^\circ$$ против часовой стрелки; в) на $$180^\circ$$.
2. Докажите, что: а) уравнение $$Ax+By+C=0$$, где $$A$$ и $$B$$ одновременно не равны нулю, является уравнением прямой; б) уравнение $$x^2-xy-2=0$$ не является уравнением окружности.

а) Чтобы построить образ отрезка $$AB$$ при повороте вокруг точки $$O$$, нужно сохранить расстояния до центра поворота и изменить направление лучей на заданный угол.

Построим лучи, получающиеся из лучей $$OA$$ и $$OB$$ при повороте вокруг точки $$O$$:

• при повороте на $$120^\circ$$ по часовой стрелке получим лучи, образующие с исходными соответствующие углы $$120^\circ$$;
• при повороте на $$75^\circ$$ против часовой стрелки получим лучи, образующие с исходными соответствующие углы $$75^\circ$$;
• при повороте на $$180^\circ$$ точки $$A$$ и $$B$$ перейдут в точки, симметричные им относительно точки $$O$$.

На новых лучах откладываем точки $$A_1$$ и $$B_1$$ так, чтобы выполнялось:

$$OA_1=OA,\qquad OB_1=OB.$$

Соединяем точки $$A_1$$ и $$B_1$$. Получаем искомый отрезок $$A_1B_1$$.

б) Докажем, что уравнение $$Ax+By+C=0$$, где $$A$$ и $$B$$ одновременно не равны нулю, задаёт прямую.

Рассмотрим возможные случаи:

1. Если $$A=0$$, то $$B\neq 0$$, и уравнение принимает вид $$By+C=0$$, откуда
   $$y=-\frac{C}{B}.$$
   Это уравнение прямой, параллельной оси $$Ox$$.
2. Если $$B=0$$, то $$A\neq 0$$, и уравнение принимает вид $$Ax+C=0$$, откуда
   $$x=-\frac{C}{A}.$$
   Это уравнение прямой, параллельной оси $$Oy$$.
3. Если $$A\neq 0$$ и $$B\neq 0$$, то
   $$By=-Ax-C,$$
   $$y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}.$$
   Это линейная функция, а её график — прямая.

Значит, уравнение $$Ax+By+C=0$$ действительно является уравнением прямой.

в) Докажем, что уравнение $$x^2-xy-2=0$$ не является уравнением окружности.

Преобразуем его:

$$x^2-xy-2=0 \;\Rightarrow\; xy=x^2-2 \;\Rightarrow\; y=\frac{x^2-2}{x}.$$

Это уравнение содержит произведение $$xy$$ и задаёт кривую, не являющуюся окружностью. Кроме того, при $$x=0$$ оно не определено, значит, график имеет разрыв, а окружность таким свойством не обладает.

Следовательно, уравнение $$x^2-xy-2=0$$ не является уравнением окружности.