Упр.1261 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны треугольник, трапеция и окружность. Постройте фигуры, которые получаются из этих фигур параллельным переносом на данный вектор а. Найдите координаты центра тяжести системы трёх масс m1, m2 и m3, сосредоточенных соответственно в точках А1 (x1; у1), А2 (х2; у2), А3 (х3; у3).

Подробный ответ

При параллельном переносе каждая точка фигуры смещается на один и тот же вектор $$\vec a$$. Поэтому для построения образа достаточно через каждую вершину провести прямую, параллельную $$\vec a$$, и отложить на ней отрезок, равный $$\vec a$$.

Для треугольника и трапеции получаем соответствующие вершины $$A_1, B_1, C_1$$ и $$D_1, E_1, F_1, G_1$$ так, что

$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CC_1}=\vec a,$$

$$\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{EE_1}=\overrightarrow{FF_1}=\overrightarrow{GG_1}=\vec a.$$

Образ окружности при параллельном переносе — окружность того же радиуса. Её центр переходит в точку $$O_1$$, для которой

$$\overrightarrow{OO_1}=\vec a.$$

Так как при переносе сохраняются расстояния, то новая окружность проходит через точку $$M_1$$, являющуюся образом точки $$M$$.

Следовательно, построенные фигуры — это треугольник $$A_1B_1C_1$$, трапеция $$D_1E_1F_1G_1$$ и окружность с центром $$O_1$$ и тем же радиусом, что и исходная.

Ход решения

Найдём координаты центра тяжести системы трёх масс $$m_1, m_2, m_3$$, сосредоточенных в точках $$A_1(x_1;y_1), A_2(x_2;y_2), A_3(x_3;y_3)$$.

Сначала заменим первые две массы их равнодействующей. Для точки равновесия двух масс имеем:

$$m_1(x-x_1)+m_2(x-x_2)=0,$$

$$m_1(y-y_1)+m_2(y-y_2)=0.$$

Отсюда

$$x_{12}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}, \qquad y_{12}=\frac{m_1y_1+m_2y_2}{m_1+m_2}.$$

Теперь рассматриваем систему из массы $$m_1+m_2$$, сосредоточенной в точке $$A_{12}(x_{12};y_{12})$$, и массы $$m_3$$ в точке $$A_3(x_3;y_3)$$. Тогда координаты центра тяжести $$C(x_c;y_c)$$ удовлетворяют равенствам:

$$ (m_1+m_2)(x-x_{12})+m_3(x-x_3)=0, $$

$$ (m_1+m_2)(y-y_{12})+m_3(y-y_3)=0. $$

Подставляя $$x_{12}$$ и $$y_{12}$$, получаем:

$$x_c=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3},$$

$$y_c=\frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3}{m_1+m_2+m_3}.$$