Упр.1260 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны равнобедренный треугольник ABC с основанием АС и такая точка D на прямой АС, что точка С лежит на отрезке AD. а) Постройте отрезок B1D, который получается из отрезка ВС параллельным переносом на вектор CD. б) Докажите, что четырёхугольник ABB1D — равнобедренная трапеция. В треугольнике ABC АС = 9 см, ВС= 12 см. Медианы AM и BN взаимно перпендикулярны. Найдите АВ.

а) При параллельном переносе на вектор $$\overrightarrow{CD}$$ точка $$B$$ переходит в точку $$B_1$$ так, что

$$BB_1 \parallel CD,\qquad BB_1=CD.$$

Через точку $$B$$ проводим прямую, параллельную $$AC$$, и на ней откладываем отрезок $$BB_1=CD$$ в направлении вектора $$\overrightarrow{CD}$$. Полученная точка и есть $$B_1$$. Соединяем $$B_1$$ с $$D$$.

б) Так как точка $$D$$ лежит на прямой $$AC$$, то $$CD \parallel AB$$, поскольку $$ABC$$ — равнобедренный треугольник с основанием $$AC$$, значит $$AB=BC$$ и углы при основании равны.

Из построения имеем $$BB_1 \parallel CD$$, а значит $$BB_1 \parallel AD$$. Кроме того, $$B_1D$$ — образ отрезка $$BC$$ при параллельном переносе, поэтому

$$B_1D=BC.$$

Так как в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ выполнено $$AB=BC$$, то

$$AB=B_1D.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $$ABB_1D$$ одна пара противоположных сторон параллельна:

$$AB \parallel B_1D,$$

а боковые стороны равны:

$$BB_1=AD.$$

Значит, $$ABB_1D$$ — равнобедренная трапеция.

Найти $$AB$$. Введём координаты: пусть

$$A(0,0),\qquad C(9,0),\qquad B(x,y),\ y>0.$$

Тогда середина отрезка $$AC$$ имеет координаты $$\left(\frac{9}{2},0\right)$$, а поскольку $$AM$$ и $$BN$$ — медианы, то

$$M\left(\frac{x+9}{2},\frac{y}{2}\right),\qquad N\left(\frac{9}{2},0\right).$$

Условие перпендикулярности медиан $$AM \perp BN$$ означает, что их направляющие векторы перпендикулярны:

$$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BN}=0.$$

То есть

$$\left(\frac{x+9}{2},\frac{y}{2}\right)\cdot \left(\frac{9}{2}-x,-y\right)=0.$$

После преобразований получаем

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^2+y^2=\frac{729}{16}.$$

Так как $$BC=12$$, то точка $$B$$ лежит на окружности с центром в $$C(9,0)$$ радиуса $$12$$:

$$ (x-9)^2+y^2=144.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ (x-9)^2-\left(x+\frac{9}{4}\right)^2 =144-\frac{729}{16}. $$

Отсюда

$$x=-1.$$

Тогда из уравнения $$ (x-9)^2+y^2=144 $$ получаем

$$100+y^2=144,\qquad y^2=44.$$

Следовательно,

$$AB=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-1)^2+44}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\text{ см}.$$

Ответ

а) $$B_1$$ — точка на прямой, параллельной $$AC$$, такая что $$BB_1=CD$$ и $$BB_1 \parallel CD$$; б) $$ABB_1D$$ — равнобедренная трапеция; $$AB=3\sqrt{5}\text{ см}.$$