Упр.1260 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дан равнобедренный треугольник $$ABC$$ с основанием $$AC$$ и такая точка $$D$$ на прямой $$AC$$, что точка $$C$$ лежит на отрезке $$AD$$.

а) Постройте отрезок $$B_1D$$, который получается из отрезка $$BC$$ параллельным переносом на вектор $$\overrightarrow{CD}$$.

б) Докажите, что четырёхугольник $$ABB_1D$$ — равнобедренная трапеция.
В треугольнике $$ABC$$ $$AC=9\text{ см}$$, $$BC=12\text{ см}$$. Медианы $$AM$$ и $$BN$$ взаимно перпендикулярны. Найдите $$AB$$.

Подробный ответ

Пусть $$A(0;0),\ C(9;0).$$ Тогда точка $$N$$ — середина отрезка $$BC,$$ а точка $$M$$ — середина отрезка $$AC.$$

Обозначим $$B(x;y),\ y>0.$$ Тогда

$$N\left(\frac{x+9}{2};\frac{y}{2}\right),\qquad M\left(\frac{9}{2};0\right).$$

Так как медианы $$AM$$ и $$BN$$ перпендикулярны, то их направляющие векторы перпендикулярны:

$$\overrightarrow{AM}=\left(\frac{9}{2};0\right),\qquad \overrightarrow{BN}=\left(\frac{9-x}{2};-\frac{y}{2}\right).$$

Тогда

$$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BN}=0,$$

$$\frac{9}{2}\cdot \frac{9-x}{2}=0.$$

Отсюда $$x=9.$$ Но это невозможно, так как точка $$B$$ не лежит на прямой $$AC.$$ Значит, удобнее воспользоваться координатами медиан через середины сторон.

Пусть $$M$$ — середина $$BC,$$ а $$N$$ — середина $$AC.$$ Тогда

$$M\left(\frac{x+9}{2};\frac{y}{2}\right),\qquad N\left(\frac{9}{2};0\right).$$

Условие перпендикулярности медиан даёт

$$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BN}=0,$$

то есть

$$\left(\frac{x+9}{2};\frac{y}{2}\right)\cdot \left(\frac{9}{2}-x;-\frac{y}{2}\right)=0.$$

После преобразований получаем

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^2+y^2=\frac{729}{16}.$$

Кроме того, так как $$BC=12,$$ имеем

$$(x-9)^2+y^2=144.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(x-9)^2-\left(x+\frac{9}{4}\right)^2 =144-\frac{729}{16}.$$