Упр.1256 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

При центральной и осевой симметрии сохраняется расстояние, то есть такие преобразования являются движением, тогда верно, что F=F_1 и F=F_2, отсюда следует, что фигуры F_1 и F_2 являются равными.
Ответ: да.
Вершины четырёхугольника ABCD имеют координаты А(х1;у1), В (х2; у2), С(х3;у3) и D (x4; y4). Докажите, что этот четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда х1 + х3 = х2 + х4 и у1 + у3 = у2 + у4.

Подробный ответ

При осевой симметрии и при центральной симметрии сохраняются расстояния между точками. Значит, оба преобразования являются движениями.

Если фигура $$F_1$$ получена из фигуры $$F$$ осевой симметрией, то $$F_1$$ равна фигуре $$F$$. Если фигура $$F_2$$ получена из фигуры $$F$$ центральной симметрией, то $$F_2$$ также равна фигуре $$F$$.

Следовательно, обе фигуры $$F_1$$ и $$F_2$$ равны одной и той же фигуре $$F$$, а значит, равны и между собой:

$$F_1 = F,\quad F_2 = F \;\Rightarrow\; F_1 = F_2.$$

Ответ: да, фигуры $$F_1$$ и $$F_2$$ равны.

Ход решения

Докажем утверждение для четырёхугольника $$ABCD$$ с вершинами $$A(x_1;y_1),\ B(x_2;y_2),\ C(x_3;y_3),\ D(x_4;y_4).$$

Необходимость. Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм. Тогда его противоположные стороны равны и параллельны, то есть

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$$

Запишем координаты этих векторов:

$$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1),\qquad \overrightarrow{DC}=(x_3-x_4;\ y_3-y_4).$$

Из равенства векторов получаем:

$$x_2-x_1=x_3-x_4,\qquad y_2-y_1=y_3-y_4.$$

Переносим слагаемые:

$$x_1+x_3=x_2+x_4,\qquad y_1+y_3=y_2+y_4.$$

Достаточность. Пусть теперь выполнены равенства

$$x_1+x_3=x_2+x_4,\qquad y_1+y_3=y_2+y_4.$$

Тогда

$$x_2-x_1=x_3-x_4,\qquad y_2-y_1=y_3-y_4,$$

то есть

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$$

Следовательно, $$AB \parallel DC$$ и $$AB=DC$$. Значит, одна пара противоположных сторон четырёхугольника $$ABCD$$ равна и параллельна, поэтому $$ABCD$$ — параллелограмм.