Упр.1255 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Любое преобразование плоскости, сохраняющее расстояние, называется движением плоскости, при двух движениях фигура F отобразится на фигуру F_1 и фигура F_1 отобразится на фигуру F_2,тогда верно, что F=F_1 и F_1=F_2,отсюда F=F_2,то есть такое преобразование всегда является движением плоскости, что и требовалось доказать.
В каком отношении находятся объёмы двух шаров, если площади их поверхностей относятся как m2 : n2?

Пусть первое движение переводит любую фигуру $$F$$ в фигуру $$F_1$$, а второе движение переводит $$F_1$$ в фигуру $$F_2$$. Так как движение сохраняет расстояния между точками, то после первого преобразования все расстояния в фигуре не изменяются, и после второго преобразования они также не изменяются.

Значит, для любых двух точек исходной фигуры расстояние между их образами после двух последовательных движений равно исходному расстоянию. Следовательно, композиция двух движений снова сохраняет расстояния, то есть является движением плоскости.

Пусть радиусы шаров равны $$r$$ и $$R$$. Тогда отношение площадей их поверхностей равно

$$ \frac{S_2}{S_1}=\frac{4\pi R^2}{4\pi r^2}=\left(\frac{R}{r}\right)^2=\frac{m^2}{n^2}. $$

Отсюда

$$ \frac{R}{r}=\frac{m}{n}. $$

Теперь найдём отношение объёмов шаров:

$$ \frac{V_2}{V_1}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi r^3}=\left(\frac{R}{r}\right)^3=\left(\frac{m}{n}\right)^3=\frac{m^3}{n^3}. $$

Следовательно,

$$ V_2:V_1=m^3:n^3. $$

Ответ

Последовательное выполнение двух движений плоскости является движением плоскости. $$V_2:V_1=m^3:n^3$$.