Упр.1250 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма. Вычислите площадь основания и высоту конуса, если развёрткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9 см, а дуга равна 120°.

Подробный ответ

1) Пусть в первом параллелограмме смежные стороны равны $$AB$$ и $$AD$$, а угол между ними равен $$\angle A$$. Во втором параллелограмме соответствующие элементы равны $$A_1B_1$$, $$A_1D_1$$ и $$\angle A_1$$.

По условию $$AB=A_1B_1$$, $$AD=A_1D_1$$, $$\angle A=\angle A_1$$. Значит, треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle A_1B_1D_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними.

Тогда существует движение, переводящее точки $$A\to A_1$$, $$B\to B_1$$, $$D\to D_1$$. При этом прямая $$BC$$ переходит в прямую, параллельную $$A_1D_1$$ и проходящую через точку $$B_1$$, то есть в прямую $$B_1C_1$$. Аналогично прямая $$DC$$ переходит в прямую $$D_1C_1$$.

Так как в параллелограмме противоположные стороны параллельны, то $$BC\parallel AD$$ и $$DC\parallel AB$$. Следовательно, образ точки $$C$$ при этом движении — точка $$C_1$$, а значит, весь параллелограмм $$ABCD$$ переходит в параллелограмм $$A_1B_1C_1D_1$$. Следовательно, эти параллелограммы равны.

2) Развёртка боковой поверхности конуса — сектор радиуса $$l=9$$ см и дуги $$120^\circ$$. Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса:

$$ 2\pi r=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi l $$

Отсюда

$$ r=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot 9=3\text{ см}. $$

Площадь основания конуса:

$$ S_{\text{осн}}=\pi r^2=\pi\cdot 3^2=9\pi\text{ см}^2. $$

Высота конуса находится из прямоугольного треугольника с гипотенузой $$l$$ и катетами $$r$$ и $$h$$:

$$ h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{9^2-3^2}=\sqrt{81-9}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\text{ см}. $$