Упр.125 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены соответственно точки Е и F так, что AE = CF. Докажите, что: a) треугольникBDE = треугольникBDF; б) треугольникADE = треугольникCDF. На рисунке 74 уголDAC = уголDBC, АО = ВО. Докажите, что уголC = уголD и АС = BD.

Подробный ответ

а) Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то медиана $$BD$$, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Значит, $$\angle EBD=\angle DBF$$, поскольку точки $$E$$ и $$F$$ лежат соответственно на сторонах $$AB$$ и $$CB$$.

Рассмотрим треугольники $$BDE$$ и $$BDF$$:

$$BD$$ — общая сторона;
$$\angle EBD=\angle DBF$$;
$$BE=AB-AE,\quad BF=BC-CF.$$

Но $$AB=BC$$, так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, а по условию $$AE=CF$$. Следовательно,

$$BE=AB-AE=BC-CF=BF.$$

Итак, $$\triangle BDE \cong \triangle BDF$$ по двум сторонам и углу между ними.

б) В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ имеем $$\angle A=\angle C$$. Кроме того, так как $$BD$$ — медиана, то $$AD=DC$$.

Рассмотрим треугольники $$ADE$$ и $$CDF$$:

$$AD=DC$$;
$$AE=CF$$ по условию;
$$\angle DAE=\angle DCF,$$

поскольку $$\angle DAE=\angle A$$ и $$\angle DCF=\angle C$$, а $$\angle A=\angle C$$.

Следовательно, $$\triangle ADE \cong \triangle CDF$$ по двум сторонам и углу между ними.