Упр.125 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведена медиана $$BD$$. На сторонах $$AB$$ и $$CB$$ отмечены соответственно точки $$E$$ и $$F$$ так, что $$AE = CF$$. Докажите, что: а) $$\triangle BDE = \triangle BDF$$; б) $$\triangle ADE = \triangle CDF$$.
2. На рисунке 74 $$\angle DAC = \angle DBC$$, $$AO = BO$$. Докажите, что $$\angle C = \angle D$$ и $$AC = BD$$.

Так как $$ABC$$ — равнобедренный треугольник с основанием $$AC$$, то $$AB=BC$$. Медиана $$BD$$, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой и биссектрисой. Значит,

$$\angle EBD=\angle DBF.$$

Рассмотрим треугольники $$BDE$$ и $$BDF$$. У них:

$$BD$$ — общая сторона,

$$BE=BF,$$

$$\angle EBD=\angle DBF.$$

Следовательно, $$\triangle BDE \cong \triangle BDF$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда получаем:

$$DE=DF.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ADE$$ и $$CDF$$. Так как $$BD$$ — медиана, то $$D$$ — середина $$AC$$, значит

$$AD=DC.$$

Кроме того, в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ углы при основании равны:

$$\angle A=\angle C.$$

По условию $$AE=CF.$$

Итак, в треугольниках $$ADE$$ и $$CDF$$:

$$AD=DC,\quad AE=CF,\quad \angle DAE=\angle DCF.$$

Следовательно, $$\triangle ADE \cong \triangle CDF$$ по двум сторонам и углу между ними.

Таким образом,

$$\triangle BDE \cong \triangle BDF,$$

$$\triangle ADE \cong \triangle CDF.$$