Упр.1248 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: ABC и А1В1С1 — произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки А, В и С отображаются в точки А1, В1, С1. Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём отсекаемого от него конуса равен 24 см3.

Подробный ответ

Пусть существует движение, при котором $$A \mapsto A_1,\; B \mapsto B_1,\; C \mapsto C_1.$$ Тогда, так как движение сохраняет расстояния, имеем

$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad A_1C_1=AC.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по трём сторонам. Значит, такое движение существует.

Докажем, что оно единственно. Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — центры окружностей, описанных около треугольников $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$. Тогда

$$OA=OB=OC,\qquad O_1A_1=O_1B_1=O_1C_1.$$

При движении центр описанной окружности переходит в центр описанной окружности, то есть $$O \mapsto O_1.$$

Если бы существовали два различных движения, переводящих $$A,B,C$$ в $$A_1,B_1,C_1,$$ то они переводили бы и центр $$O$$ в одну и ту же точку $$O_1,$$ а также три точки $$A,B,C$$ в одни и те же образы. Но движение однозначно определяется образом трёх неколлинеарных точек, поэтому такое движение может быть только одно.

Теперь решим задачу про конус. Рассмотрим осевое сечение большого конуса $$APB$$ и сечение плоскостью, параллельной основанию, в точках $$C$$ и $$D.$$ Тогда

$$AB \parallel CD,$$

поэтому $$\triangle PAB \sim \triangle PCD.$$

Коэффициент подобия равен

$$k=\frac{PO}{PK}=\frac{5}{2},$$

где $$PO=5\text{ см}$$ — высота большого конуса, а $$PK=2\text{ см}$$ — расстояние от вершины до секущей плоскости.

Объёмы подобных конусов относятся как куб коэффициента подобия:

$$\frac{V_1}{V_2}=k^3.$$

Тогда

$$V_1=\left(\frac{5}{2}\right)^3\cdot 24= \frac{125}{8}\cdot 24=375.$$