Упр.1243 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что при движении четырехугольник отображается на четырехугольник.
2. В правильной $$n$$-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен $$\alpha$$, а сторона основания равна $$a$$. Найдите объём пирамиды.

Пусть $$P A_1A_2\dots A_n$$ — правильная $$n$$-угольная пирамида, $$O$$ — центр основания, $$H_1$$ — середина стороны $$A_1A_2$$, $$H$$ — середина стороны основания, а $$PH_1$$ — апофема пирамиды.

Тогда в равнобедренном треугольнике $$PA_1A_2$$ имеем

$$PH_1=\frac{A_1H_1}{\tg \frac{\alpha}{2}}=\frac{a}{2\tg \frac{\alpha}{2}}.$$

В правильном $$n$$-угольнике радиус вписанной окружности основания равен

$$OH_1=\frac{A_1H_1}{\tg \frac{180^\circ}{n}}=\frac{a}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$

Площадь основания:

$$S=\frac12\cdot P\cdot r=\frac12\cdot na\cdot OH_1=\frac12\cdot na\cdot \frac{a}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}=\frac{na^2}{4\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$

Высота пирамиды:

$$h=PO=\sqrt{PH_1^2-OH_1^2}$$

$$h=\sqrt{\left(\frac{a}{2\tg \frac{\alpha}{2}}\right)^2-\left(\frac{a}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}\right)^2}=\frac{a}{2}\sqrt{\ctg^2\frac{\alpha}{2}-\ctg^2\frac{180^\circ}{n}}.$$

Теперь найдём объём:

$$V=\frac13Sh$$

$$V=\frac13\cdot \frac{na^2}{4\tg \frac{180^\circ}{n}}\cdot \frac{a}{2}\sqrt{\ctg^2\frac{\alpha}{2}-\ctg^2\frac{180^\circ}{n}}.$$

Следовательно,

$$V=\frac{na^3\ctg \frac{180^\circ}{n}}{24}\sqrt{\ctg^2\frac{\alpha}{2}-\ctg^2\frac{180^\circ}{n}}.$$