Упр.1241 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что при центральной симметрии плоскости: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамидыпроходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь поверхности пирамиды, т. е. сумму площадей всех её граней.

Подробный ответ

Обозначим центр симметрии через $$O$$.

а) Пусть прямая $$a$$ не проходит через точку $$O$$. Возьмём на ней любые точки $$A$$ и $$B$$ и отобразим их при центральной симметрии в точки $$A’$$ и $$B’$$.

При центральной симметрии сохраняются расстояния, значит

$$AO=A’O,\qquad BO=B’O.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle BOA$$ и $$\triangle B’OA’$$. У них

$$BO=B’O,\qquad AO=A’O,\qquad \angle BOA=\angle B’OA’$$

как вертикальные углы. Следовательно, $$\triangle BOA \cong \triangle B’OA’$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$\angle BAO=\angle B’A’O.$$

Так как точки $$A, B$$ лежат на прямой $$a$$, то лучи $$AB$$ и $$AO$$ совпадают, а точки $$A’, B’$$ лежат на образе прямой $$a’$$. Значит, соответствующие углы при секущей равны, поэтому

$$AB \parallel A’B’.$$

Но точки $$A$$ и $$B$$ произвольны, следовательно, образ прямой $$a$$ есть прямая, параллельная ей.

б) Пусть прямая $$a$$ проходит через центр симметрии $$O$$. Возьмём на ней любую точку $$A$$ и её образ $$A’$$.

Так как $$O$$ — центр симметрии, то $$O$$ является серединой отрезка $$AA’$$, значит точки $$A, O, A’$$ лежат на одной прямой. Но прямая $$a$$ уже проходит через точки $$A$$ и $$O$$, следовательно, точка $$A’$$ тоже лежит на прямой $$a$$.

Итак, каждой точке прямой $$a$$ соответствует точка той же прямой, значит прямая отображается на себя.