Упр.1241 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что при центральной симметрии плоскости: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
2. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь поверхности пирамиды, т. е. сумму площадей всех её граней.

Пусть при центральной симметрии с центром $$O$$ точка $$A$$ переходит в точку $$A’$$, а точка $$B$$ — в точку $$B’$$.

а)

Возьмём на прямой $$a$$ две произвольные точки $$A$$ и $$B$$, не совпадающие с центром симметрии $$O$$. Тогда при центральной симметрии

$$AO=A’O,\qquad BO=B’O.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle BOA$$ и $$\triangle B’OA’$$. У них

$$BO=B’O,\qquad AO=A’O,\qquad \angle BOA=\angle B’OA’$$

как вертикальные углы. Значит, $$\triangle BOA \cong \triangle B’OA’$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$\angle BAO=\angle B’A’O.$$

Так как точки $$A, B, O$$ лежат на одной прямой, то луч $$AO$$ совпадает с прямой $$a$$. Следовательно, прямые $$AB$$ и $$A’B’$$ образуют с прямой $$a$$ равные углы, а значит, они параллельны:

$$AB \parallel A’B’.$$

Итак, прямая, не проходящая через центр симметрии, переходит в параллельную ей прямую.

б)

Пусть прямая $$a$$ проходит через центр симметрии $$O$$, и возьмём на ней произвольную точку $$A$$. Тогда её образ $$A’$$ при центральной симметрии лежит на той же прямой, потому что точки $$A, O, A’$$ коллинеарны и $$O$$ — середина отрезка $$AA’$$.

Значит, каждой точке прямой $$a$$ соответствует точка той же прямой, поэтому образ прямой $$a$$ совпадает с ней самой:

$$a’=a.$$