Упр.1235 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу 2, п. 65). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью BKL, где К — середина ребра АА1, a L — середина ребра СС1. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.

Подробный ответ

1) Пусть $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, $$CH$$ — высота, проведённая к гипотенузе $$AB$$. Тогда $$\triangle AHC \sim \triangle CHB$$, а коэффициент подобия этих треугольников обозначим через $$k$$.

Для подобных треугольников отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{AHC}}{S_{CHB}}=k^2.$$

С другой стороны, если $$r_1$$ и $$r_2$$ — радиусы вписанных окружностей в треугольники $$AHC$$ и $$CHB$$, то

$$S_{AHC}=\frac12 P_{AHC}\cdot r_1,\qquad S_{CHB}=\frac12 P_{CHB}\cdot r_2.$$

Так как треугольники подобны, то отношение их периметров равно коэффициенту подобия:

$$\frac{P_{AHC}}{P_{CHB}}=k.$$

Тогда

$$k^2=\frac{S_{AHC}}{S_{CHB}}=\frac{\frac12 P_{AHC}\cdot r_1}{\frac12 P_{CHB}\cdot r_2}=k\cdot \frac{r_1}{r_2}.$$

Отсюда

$$k=\frac{r_1}{r_2}.$$

Длины окружностей равны $$C_1=2\pi r_1$$ и $$C_2=2\pi r_2$$, значит

$$\frac{C_1}{C_2}=\frac{2\pi r_1}{2\pi r_2}=\frac{r_1}{r_2}=k.$$

Следовательно, отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия.

2) Рассмотрим параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Пусть $$K$$ — середина ребра $$AA_1$$, а $$L$$ — середина ребра $$CC_1$$. Проведём отрезок $$BK$$.

Через точку $$L$$ проведём прямую, параллельную $$BK$$. Она пересечёт ребро $$D_1C_1$$ в точке $$L_1$$. Тогда плоскость $$BKL_1D_1$$ и есть искомое сечение.

Докажем, что $$BKLD_1$$ — параллелограмм.

Так как $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ — параллелепипед, то $$KD_1 \parallel BL$$ и $$KB \parallel D_1L$$.

Рассмотрим треугольники $$AKB$$ и $$D_1LC_1$$. Имеем:

$$KA=C_1L$$,

$$AB=D_1C_1,$$

$$\angle A=\angle C_1$$

как соответствующие углы параллелепипеда. Значит, $$\triangle AKB \cong \triangle D_1LC_1$$, откуда

$$KB=D_1L.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $$BKLD_1$$ противоположные стороны попарно параллельны:

$$KD_1 \parallel BL,\qquad KB \parallel D_1L.$$

Значит, $$BKLD_1$$ — параллелограмм.