Упр.1235 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу 2, п. 65). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников.
- Задание учебника 2023 года. Изобразите параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и постройте его сечение плоскостью $$BKL$$, где $$K$$ — середина ребра $$AA_1$$, а $$L$$ — середина ребра $$CC_1$$. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, в котором $$CH$$ — высота, проведённая к гипотенузе $$AB$$. Тогда треугольники $$AHC$$ и $$CHB$$ подобны.
Обозначим через $$r_1$$ и $$r_2$$ радиусы окружностей, вписанных соответственно в треугольники $$AHC$$ и $$CHB$$, а через $$C_1$$ и $$C_2$$ — длины этих окружностей.
Из подобия треугольников следует, что отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия $$k$$:
$$\frac{S_{AHC}}{S_{CHB}}=k^2.$$
С другой стороны, площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности:
$$S_{AHC}=\frac12 P_{AHC}\cdot r_1,\qquad S_{CHB}=\frac12 P_{CHB}\cdot r_2.$$
Так как треугольники подобны, то их периметры относятся как коэффициент подобия:
$$\frac{P_{AHC}}{P_{CHB}}=k.$$
Тогда
$$k^2=\frac{S_{AHC}}{S_{CHB}}=\frac{\frac12 P_{AHC}\cdot r_1}{\frac12 P_{CHB}\cdot r_2}=k\cdot \frac{r_1}{r_2}.$$
Отсюда
$$k=\frac{r_1}{r_2}.$$
Но длина окружности равна $$2\pi r$$, значит
$$\frac{C_1}{C_2}=\frac{2\pi r_1}{2\pi r_2}=\frac{r_1}{r_2}=k.$$
Следовательно, отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников.
