Упр.1233 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Фигура ограничена большими дугами двух окружностей, имеющих общую хорду, длина которой равна 6 см. Для одной окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите сумму длин этих дуг.
2. Докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.

Обозначим длины дуг через $$l_1$$ и $$l_2$$.

Для первой окружности хорда $$AB=6$$ см является стороной вписанного квадрата, значит соответствующая дуга между соседними вершинами квадрата равна $$\frac{360^\circ}{4}=90^\circ$$. Тогда большая дуга равна $$360^\circ-90^\circ=270^\circ$$.

Найдём радиус первой окружности. Для квадрата

$$AB=2R\sin\frac{180^\circ}{4}=2R\sin45^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt2}{2}=R\sqrt2.$$

Так как $$AB=6$$, то

$$R=\frac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2.$$

Тогда длина большой дуги первой окружности:

$$l_1=\frac{2\pi R}{360^\circ}\cdot 270^\circ =\frac{3\sqrt2\pi\cdot 270^\circ}{180^\circ} =\frac{9\sqrt2\pi}{2}\text{ см}.$$

Для второй окружности хорда $$AB=6$$ см является стороной правильного вписанного шестиугольника, значит соответствующая дуга равна $$\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$$, а большая дуга равна $$360^\circ-60^\circ=300^\circ$$.

Для правильного шестиугольника сторона равна радиусу, поэтому

$$R=6\text{ см}.$$

Тогда длина большой дуги второй окружности:

$$l_2=\frac{2\pi R}{360^\circ}\cdot 300^\circ =\frac{2\pi\cdot 6}{360^\circ}\cdot 300^\circ =10\pi\text{ см}.$$

Сумма длин дуг:

$$l_1+l_2=\frac{9\sqrt2\pi}{2}+10\pi =\frac{\pi}{2}(20+9\sqrt2)\text{ см}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{2}(20+9\sqrt2)\text{ см}.$$