Упр.1233 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Фигура ограничена большими дугами двух окружностей, имеющих общую хорду, длина которой равна 6 см. Для одной окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите сумму длин этих дуг. Докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.
Обозначим длину общей хорды через $$AB=6$$ см.
Для первой окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, значит центральный угол, стягивающий хорду $$AB$$, равен $$90^\circ$$. Тогда радиус первой окружности найдём из формулы хорды:
$$AB=2R_1\sin\frac{90^\circ}{2}=2R_1\sin45^\circ=R_1\sqrt2.$$
Отсюда
$$R_1=\frac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2.$$
Большая дуга этой окружности соответствует углу
$$360^\circ-90^\circ=270^\circ.$$
Её длина:
$$l_1=\frac{2\pi R_1}{360^\circ}\cdot270^\circ=\frac{3\pi R_1}{2}=\frac{3\pi\cdot3\sqrt2}{2}=\frac{9\sqrt2\pi}{2}\text{ см}.$$
Для второй окружности хорда $$AB$$ является стороной правильного вписанного шестиугольника, значит она равна радиусу:
$$R_2=AB=6.$$
Центральный угол, стягивающий сторону правильного шестиугольника, равен $$60^\circ$$, поэтому большая дуга соответствует углу
$$360^\circ-60^\circ=300^\circ.$$
Тогда
$$l_2=\frac{2\pi R_2}{360^\circ}\cdot300^\circ=\frac{5\pi R_2}{6}=\frac{5\pi\cdot6}{6}=5\pi\text{ см}.$$
Сумма длин дуг равна
$$l_1+l_2=\frac{9\sqrt2\pi}{2}+5\pi=\pi\left(5+\frac{9\sqrt2}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\left(10+9\sqrt2\right)\text{ см}.$$
Докажем второе утверждение.
Рассмотрим параллелепипед. Пусть его рёбра равны $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Тогда квадрат диагонали каждой грани равен сумме квадратов двух её сторон:
$$d_1^2=a^2+b^2,\quad d_2^2=b^2+c^2,\quad d_3^2=c^2+a^2.$$
У каждой из трёх пар противоположных граней диагонали равны, поэтому сумма квадратов всех четырёх пространственных диагоналей равна
$$2(d_1^2+d_2^2+d_3^2)=2\bigl((a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)\bigr).$$
Получаем
$$2(d_1^2+d_2^2+d_3^2)=4a^2+4b^2+4c^2.$$
С другой стороны, сумма квадратов всех двенадцати рёбер параллелепипеда равна
$$4a^2+4b^2+4c^2,$$
так как каждое из рёбер длины $$a$$, $$b$$ и $$c$$ встречается по четыре раза.
Следовательно, сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов его двенадцати рёбер.
Ответ
$$\frac{\pi}{2}\left(10+9\sqrt2\right)\text{ см}.$$
