Упр.1232 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника. Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трёх рёбер, имеющих общую вершину.
Обозначим радиус вписанной окружности через $$r$$, а радиус описанной около круга окружности — через $$R$$.
Площадь круга равна
$$S_{\text{кр}}=\pi r^2,$$
а длина окружности —
$$C=2\pi r.$$
Площадь правильного многоугольника со стороной $$a$$ и вписанной окружностью равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности:
$$S_n=\frac{1}{2}P_n r.$$
Тогда
$$\frac{S_{\text{кр}}}{S_n}=\frac{\pi r^2}{\frac{1}{2}P_n r}=\frac{2\pi r}{P_n}.$$
С другой стороны,
$$\frac{C}{P_n}=\frac{2\pi r}{P_n}.$$
Следовательно,
$$\frac{S_{\text{кр}}}{S_n}=\frac{C}{P_n},$$
что и требовалось доказать.
Докажем второе утверждение. Рассмотрим диагональ параллелепипеда $$AC_1$$. По неравенству треугольника в треугольнике $$ACC_1$$ имеем
$$AC_1<AC+CC_1.$$
В треугольнике $$ABC$$ также по неравенству треугольника
$$AC<AB+BC.$$
Подставим это в первое неравенство:
$$AC_1<(AB+BC)+CC_1.$$
Так как грани параллелепипеда — параллелограммы, то $$BC=AD$$, а $$CC_1=AA_1$$. Поэтому
$$AC_1<AB+AD+AA_1.$$
Что и требовалось доказать.
