Упр.1230 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если: а) диагонали ромба равны 6 см и 8 см; б) сторона ромба равна а и острый угол равен а. Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.

а) Пусть $O$ — центр ромба, $r$ — радиус вписанной окружности. Тогда $OM \perp AB$, где $M$ — точка касания.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам, поэтому в прямоугольном треугольнике $AOB$:

$$AO=\frac{8}{2}=4,\qquad BO=\frac{6}{2}=3.$$

Тогда сторона ромба

$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ см}.$$

Площадь ромба:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24\text{ см}^2.$$

С другой стороны, для ромба с вписанной окружностью

$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot OM.$$

Отсюда

$$24=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot r,$$

$$r=\frac{48}{5}=9{,}6\text{ см}.$$

Следовательно, длина окружности:

$$C=2\pi r=2\pi\cdot 9{,}6=19{,}2\pi\text{ см}\approx 60{,}3\text{ см}.$$

б) Пусть сторона ромба равна $a$, а острый угол равен $\alpha$.

Площадь ромба можно выразить двумя способами:

$$S=a^2\sin\alpha,$$

$$S=pr,$$

где $p$ — полупериметр ромба. Так как $p=2a$, то

$$a^2\sin\alpha=2ar,$$

$$r=\frac{a}{2}\sin\alpha.$$

Тогда длина вписанной окружности равна

$$C=2\pi r=2\pi\cdot \frac{a}{2}\sin\alpha=\pi a\sin\alpha.$$

Доказательство. Пусть у сферы радиус $R$, у конуса — радиус основания $r$, высота $h$, образующая $l$. По условию

$$h=2R,\qquad 2r=l.$$

Площадь полной поверхности конуса:

$$S_{\text{конуса}}=\pi r^2+\pi rl.$$

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей, имеем

$$l^2=h^2+r^2.$$

Подставим $h=2R$ и $l=2r$:

$$4r^2=4R^2+r^2,$$

$$3r^2=4R^2,$$

$$r^2=\frac{4R^2}{3}.$$

Тогда

$$S_{\text{конуса}}=\pi r^2+\pi r\cdot 2r=3\pi r^2=3\pi\cdot \frac{4R^2}{3}=4\pi R^2.$$

Но площадь сферы равна

$$S_{\text{сферы}}=4\pi R^2.$$

Следовательно,

$$S_{\text{сферы}}=S_{\text{конуса}}.$$

Ответ

а) $C=19{,}2\pi$ см $\approx 60{,}3$ см; б) $C=\pi a\sin\alpha$; $S_{\text{сферы}}=S_{\text{конуса}}$.