Упр.1228 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Квадрат А1A2А3А4 вписан в окружность радиуса R (рис. 320). На его сторонах отмечены восемь точек так, что А1В1 = А2В2 = А3В3 = А4В4 = A1C1 = А2С2 = А3С3=А4С4 = R. Докажите, что восьмиугольник В1С3В2С4В3С1В4С2 правильный, и выразите площадь этого восьмиугольника через радиус R. Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

Подробный ответ

Обозначим радиус окружности через $$R$$. Тогда сторона квадрата, вписанного в окружность, равна $$A_1A_2=R\sqrt{2}$$.

По условию $$A_1B_1=A_2C_2=R$$. Пусть $$A_1C_1=A_2B_2=x$$. Тогда из равенства отрезков на стороне квадрата получаем

$$A_1A_2=A_1C_1+C_2B_1+B_1A_2,$$

то есть

$$R\sqrt{2}=x+(R-x)+x=R+x,$$

откуда

$$x=R(\sqrt{2}-1).$$

Следовательно,

$$A_1C_1=A_2B_2=A_3C_3=A_4B_4=R(\sqrt{2}-1).$$

Теперь рассмотрим треугольник $$A_1B_1C_3$$. По теореме Пифагора

$$B_1C_3=\sqrt{(R-x)^2+x^2}.$$

Подставим $$x=R(\sqrt{2}-1)$$:

$$B_1C_3=\sqrt{\bigl(R-R(\sqrt{2}-1)\bigr)^2+\bigl(R(\sqrt{2}-1)\bigr)^2}=R(\sqrt{2}-1).$$

Аналогично получаем, что все стороны восьмиугольника $$B_1C_3B_2C_4B_3C_1B_4C_2$$ равны между собой. Значит, этот восьмиугольник — правильный.

Найдём его площадь. Правильный восьмиугольник можно разбить на 8 равных треугольников с вершиной в центре окружности. Пусть $$O$$ — центр окружности. Тогда

$$S_8=8S_{OB_1C_2}.$$

Угол между соседними радиусами, соответствующими вершинам правильного восьмиугольника, равен $$45^\circ$$, поэтому

$$S_{OB_1C_2}=\frac12\cdot OB_1\cdot OC_2\cdot \sin 45^\circ.$$

Из найденных соотношений имеем

$$OB_1=OC_2=R(\sqrt{2}-1).$$

Тогда

$$S_{OB_1C_2}=\frac12\cdot R^2(\sqrt{2}-1)^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{(\sqrt{2}-1)R^2}{2}.$$

Следовательно,

$$S_8=8\cdot \frac{(\sqrt{2}-1)R^2}{2}=4(\sqrt{2}-1)R^2.$$