Упр.1221 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из внешних углов которого равен: а) $$18^\circ$$; б) $$40^\circ$$; в) $$72^\circ$$; г) $$60^\circ$$?
2. Найдите объём конуса, если площадь его основания равна $$Q$$, а площадь боковой поверхности равна $$P$$.

Пусть $$n$$ — число сторон правильного многоугольника, а $$\alpha$$ — его внешний угол. Тогда внутренний угол равен $$180^\circ-\alpha$$.

Для правильного $$n$$-угольника внутренний угол равен

$$\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ.$$

Приравняем:

$$\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ=180^\circ-\alpha.$$

Умножим на $$n$$:

$$180^\circ n-360^\circ=180^\circ n-\alpha n.$$

Отсюда

$$\alpha n=360^\circ,$$

значит,

$$n=\frac{360^\circ}{\alpha}.$$

Теперь найдём число сторон для каждого случая:

• а) $$\alpha=18^\circ$$, тогда $$n=\frac{360^\circ}{18^\circ}=20$$;
• б) $$\alpha=40^\circ$$, тогда $$n=\frac{360^\circ}{40^\circ}=9$$;
• в) $$\alpha=72^\circ$$, тогда $$n=\frac{360^\circ}{72^\circ}=5$$;
• г) $$\alpha=60^\circ$$, тогда $$n=\frac{360^\circ}{60^\circ}=6$$.

Ответ: а) $$20$$; б) $$9$$; в) $$5$$; г) $$6$$.