Упр.1220 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что площадь $$S$$ кругового сектора радиуса $$R$$, ограниченного дугой с радианной мерой $$?$$, вычисляется по формуле $$S=\frac{?R^2}{2}$$.
2. Пусть $$h$$, $$r$$ и $$V$$ — соответственно высота, радиус основания и объём конуса. Найдите:
   а) $$V$$, если $$h=3\text{ см}$$, $$r=1{,}5\text{ см}$$;
   б) $$h$$, если $$r=4\text{ см}$$, $$V=48\pi\text{ см}^3$$;
   в) $$r$$, если $$h=m$$, $$V=p$$.

Площадь круга радиуса $$R$$ равна $$S_{\text{кр}}=\pi R^2$$. Если дуга сектора имеет радианную меру $$\varphi$$, то она составляет долю $$\dfrac{\varphi}{2\pi}$$ от полного круга. Значит, площадь сектора равна

$$S=\frac{\varphi}{2\pi}\cdot S_{\text{кр}} =\frac{\varphi}{2\pi}\cdot \pi R^2 =\frac{\varphi R^2}{2}.$$

Следовательно, утверждение доказано.

Ответ

$$S=\frac{\varphi R^2}{2}$$

а) $$V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot 1{,}5^2\cdot 3=2{,}25\pi\ \text{см}^3$$;

б) $$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$$, откуда

$$h=\frac{3V}{\pi r^2}=\frac{3\cdot 48\pi}{\pi\cdot 4^2}=9\ \text{см};$$

в) $$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$$, откуда

$$r=\sqrt{\frac{3V}{\pi h}}=\sqrt{\frac{3p}{\pi m}}.$$