Упр.1220 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1220. Докажите, что площадь S кругового сектора радиуса R, ограниченного дугой с радианной мерой ?, вычисляется по формуле S=(?R^2)/2. Пусть h, r и V — соответственно высота, радиус основания и объём конуса. Найдите: а) V, если h = 3см, r=1,5см; б) h, если r = 4 см, V=48пи cм3; в) г, если h = m, V = p.
Площадь круга радиуса $$R$$ равна $$S_{\text{кр}}=\pi R^2$$. Если дуга сектора имеет радианную меру $$\varphi$$, то соответствующая ей часть окружности составляет долю
$$\frac{\varphi}{2\pi}$$
от всей окружности. Значит, площадь сектора равна той же доле от площади круга:
$$S=\frac{\varphi}{2\pi}\cdot S_{\text{кр}}=\frac{\varphi}{2\pi}\cdot \pi R^2=\frac{\varphi R^2}{2}.$$
Утверждение доказано.
Для конуса используем формулу объёма:
$$V=\frac{1}{3}\pi r^2h.$$
а) $$h=3\text{ см},\ r=1{,}5\text{ см}.$$ Тогда
$$V=\frac{1}{3}\pi\cdot 1{,}5^2\cdot 3=\pi\cdot 1{,}5^2=2{,}25\pi\text{ см}^3.$$
б) $$r=4\text{ см},\ V=48\pi\text{ см}^3.$$ Из формулы объёма:
$$48\pi=\frac{1}{3}\pi\cdot 4^2\cdot h,$$
откуда
$$h=\frac{3V}{\pi r^2}=\frac{3\cdot 48\pi}{\pi\cdot 4^2}=\frac{144}{16}=9\text{ см}.$$
в) $$h=m,\ V=p.$$ Тогда
$$p=\frac{1}{3}\pi r^2m,$$
следовательно,
$$r^2=\frac{3p}{\pi m},\qquad r=\sqrt{\frac{3p}{\pi m}}.$$
Ответ
$$S=\frac{\varphi R^2}{2};\quad \text{а) } 2{,}25\pi\text{ см}^3;\quad \text{б) } 9\text{ см};\quad \text{в) } \sqrt{\frac{3p}{\pi m}}.$$
