Упр.1213 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Вокруг круглой клумбы, радиус которой равен 3 м, проложена дорожка шириной 1 м. Сколько нужно песка, чтобы посыпать дорожку, если на 1 м2 дорожки требуется 0,8 дм3 песка? Докажите, что объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Подробный ответ

Пусть радиус клумбы $$R=3$$ м, а ширина дорожки $$r=1$$ м. Тогда внешний радиус дорожки равен $$R+r=4$$ м.

Найдём площадь клумбы:

$$S_{\text{кл}}=\pi R^2=\pi\cdot 3^2=9\pi\ \text{м}^2.$$

Найдём площадь клумбы вместе с дорожкой:

$$S_{\text{кл+дор}}=\pi(R+r)^2=\pi\cdot 4^2=16\pi\ \text{м}^2.$$

Тогда площадь дорожки:

$$S_{\text{дор}}=S_{\text{кл+дор}}-S_{\text{кл}}=16\pi-9\pi=7\pi\ \text{м}^2.$$

На $$1\ \text{м}^2$$ дорожки требуется $$0{,}8\ \text{дм}^3$$ песка, значит, всего нужно:

$$V=7\pi\cdot 0{,}8=5{,}6\pi\ \text{дм}^3\approx 5{,}6\cdot 3{,}14=17{,}6\ \text{дм}^3.$$

Докажем, что объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Рассмотрим цилиндр и призму с равными площадями оснований $$S$$ и одинаковой высотой $$h$$, стоящие на одной плоскости. Любая секущая плоскость, параллельная основаниям, даёт у цилиндра сечение площадью $$S$$, а у призмы — сечение той же площади $$S$$. По принципу Кавальери такие тела имеют равные объёмы.

Объём призмы равен $$Sh$$. Следовательно, объём цилиндра тоже равен $$Sh$$, то есть

$$V=Sh.$$