Упр.1212 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Какой толщины слой нужно снять с круглой медной проволоки, имеющей площадь сечения 314 мм2, чтобы она проходила сквозь отверстие диаметром 18,5 мм? Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если сторона её основания равна m, а плоский угол (т. е. угол грани) при вершине равен а.

Подробный ответ

1) Площадь сечения проволоки равна площади круга:

$$S=\pi R^2$$

$$314=3{,}14\cdot R^2$$

$$R^2=100,\quad R=10\text{ мм}$$

2) Диаметр отверстия равен $$18{,}5\text{ мм}$$, значит его радиус

$$r=\frac{18{,}5}{2}=9{,}25\text{ мм}$$

Чтобы проволока проходила сквозь отверстие, нужно снять слой толщиной

$$l=R-r=10-9{,}25=0{,}75\text{ мм}$$

Ответ: $$0{,}75\text{ мм}$$.

Пусть $$S_{\text{осн}}$$ — площадь основания пирамиды, $$H$$ — её высота. Тогда

$$V=\frac13 S_{\text{осн}}H=\frac13 m^2H$$

Так как пирамида правильная, основание — квадрат, а вершина $$M$$ находится над центром $$O$$ основания. Для квадрата со стороной $$m$$ радиус описанной окружности равен

$$AO=\frac{m}{\sqrt2}$$

Рассмотрим треугольник $$AMC$$. Он равнобедренный, так как $$AM=MC$$. Отрезок $$MO$$, проведённый к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой угла при вершине, поэтому

$$\angle AMO=\frac{\alpha}{2}$$

В прямоугольном треугольнике $$AMO$$:

$$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{AO}{MO}$$

откуда

$$MO=\frac{AO}{\tg\frac{\alpha}{2}}=\frac{m}{\sqrt2\,\tg\frac{\alpha}{2}}$$

Тогда объём пирамиды:

$$V=\frac13 m^2\cdot \frac{m}{\sqrt2\,\tg\frac{\alpha}{2}}=\frac{m^3}{3\sqrt2\,\tg\frac{\alpha}{2}}$$

Так как $$\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt3}{\sqrt6}$$, получаем стандартный вид:

$$V=\frac{m^3}{2\sqrt3}\ctg\frac{\alpha}{2}$$

Ответ: $$\frac{m^3}{2\sqrt3}\ctg\frac{\alpha}{2}$$.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →