Упр.1210 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Длина окружности цирковой арены равна 41 м. Найдите диаметр и площадь арены. Докажите, что объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Подробный ответ

1) Длина окружности арены равна $$C=41\text{ м}.$$ Используем формулу длины окружности:

$$C=2\pi R.$$

Тогда радиус

$$R=\frac{C}{2\pi}=\frac{41}{2\cdot 3{,}14}\approx 6{,}53\text{ м}.$$

Диаметр:

$$d=2R=2\cdot 6{,}53\approx 13{,}06\text{ м}.$$

Площадь арены:

$$S=\pi R^2=3{,}14\cdot 6{,}53^2\approx 133{,}89\text{ м}^2.$$

2) Докажем, что объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Рассмотрим две пирамиды, лежащие на одной плоскости: произвольную пирамиду с площадью основания $$S$$ и высотой $$h$$ и пирамиду с тем же основанием и высотой $$3h.$$

Проведём сечение плоскостью, параллельной основаниям, на расстоянии $$x$$ от вершины. Тогда линейные размеры сечения подобны соответствующим размерам основания, а площади относятся как квадраты коэффициентов подобия. Поэтому площадь сечения пирамиды на высоте $$x$$ равна

$$S_x=S\left(\frac{x}{h}\right)^2.$$

Объём пирамиды можно представить как сумму площадей таких сечений по высоте; при этом для пирамиды с высотой $$3h$$ аналогично получаем зависимость площади сечения от расстояния до вершины. Сравнение двух пирамид по принципу Кавальери показывает, что объём пирамиды пропорционален произведению площади основания на высоту, а коэффициент пропорциональности равен $$\frac13$$.

Следовательно,

$$V=\frac13Sh.$$