Упр.1209 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Диаметр основания царь-колокола, находящегося в Московском Кремле, равен 6,6 м. Найдите площадь основания колокола. Через точку Н1 высоты PH пирамиды РА1А2…Аn проведена секущая плоскость b, параллельная плоскости а её основания. Докажите, что площадь полученного сечения равна (PH1/PH) x S, где S — площадь основания пирамиды.

Подробный ответ

Площадь основания колокола — это площадь круга. Диаметр равен $$6{,}6\text{ м}$$, значит радиус

$$R=\frac{6{,}6}{2}=3{,}3\text{ м}.$$

Тогда

$$S=\pi R^2=3{,}14\cdot 3{,}3^2=3{,}14\cdot 10{,}89\approx 34{,}19\text{ м}^2.$$

Для пирамиды рассмотрим сначала треугольную пирамиду. Пусть плоскость $$\beta$$ параллельна основанию $$\alpha$$ и проходит через точку $$H_1$$ высоты $$PH$$. Тогда сечение подобно основанию пирамиды, а коэффициент подобия равен

$$k=\frac{PH_1}{PH}.$$

Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия, поэтому

$$S_{\text{сечения}}=k^2S=\left(\frac{PH_1}{PH}\right)^2S.$$

Это верно для треугольной пирамиды. Любую пирамиду можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой $$PH$$, поэтому для всей пирамиды получаем ту же формулу:

$$S_{\text{сечения}}=\left(\frac{PH_1}{PH}\right)^2S.$$