Упр.1207 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами а и b; б) прямоугольного треугольника с катетом а и противолежащим углом а; в) равнобедренного треугольника с основанием а и высотой h, проведённой к основанию. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые рёбра пирамиды, если её высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.
а) В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются в одной точке, значит диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника.
Найдём диагональ прямоугольника:
$$d=\sqrt{a^2+b^2}.$$
Тогда радиус окружности
$$R=\frac d2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$
Площадь круга:
$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\right)^2=\frac{\pi(a^2+b^2)}{4}.$$
б) В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности. Если катет, противолежащий углу $$\alpha$$, равен $$a$$, то
$$\sin\alpha=\frac{a}{AB},$$
откуда
$$AB=\frac{a}{\sin\alpha}.$$
Следовательно, радиус окружности
$$R=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2\sin\alpha}.$$
Тогда площадь круга
$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{a}{2\sin\alpha}\right)^2=\frac{\pi a^2}{4\sin^2\alpha}.$$
в) В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Значит, она делит основание пополам:
$$\frac a2$$
— половина основания.
Пусть $$R$$ — радиус описанной окружности. Тогда центр окружности лежит на высоте, и для прямоугольного треугольника с катетами $$h-R$$ и $$\frac a2$$ получаем:
$$R^2=(h-R)^2+\left(\frac a2\right)^2.$$
Раскроем скобки:
$$ R^2=h^2-2hR+R^2+\frac{a^2}{4} $$
$$ 2hR=h^2+\frac{a^2}{4} $$
$$ R=\frac{4h^2+a^2}{8h}. $$
Тогда площадь круга:
$$ S=\pi R^2=\pi\left(\frac{4h^2+a^2}{8h}\right)^2 =\frac{\pi(4h^2+a^2)^2}{64h^2}. $$
г) Основание пирамиды — ромб со стороной $$5$$ см и диагональю $$8$$ см. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
Пусть вторая диагональ равна $$d$$. Тогда из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей, имеем:
$$ \left(\frac{8}{2}\right)^2+\left(\frac d2\right)^2=5^2 $$
$$ 4^2+\left(\frac d2\right)^2=25 $$
$$ \left(\frac d2\right)^2=9,\qquad \frac d2=3. $$
Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей и равна $$7$$ см. Значит, расстояние от вершины пирамиды до этой точки равно $$7$$ см, а расстояние от этой точки до любой вершины основания равно половине диагонали, то есть либо $$4$$ см, либо $$3$$ см.
Тогда боковые рёбра равны:
$$ \sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{65} $$
и
$$ \sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}. $$
Следовательно, две боковые рёбра равны $$\sqrt{65}$$ см, а две другие — $$\sqrt{58}$$ см.
Ответ
а) $$\frac{\pi(a^2+b^2)}{4}$$; б) $$\frac{\pi a^2}{4\sin^2\alpha}$$; в) $$\frac{\pi(4h^2+a^2)^2}{64h^2}$$; г) $$\sqrt{65}$$ см и $$\sqrt{58}$$ см.
