Упр.1207 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами $$a$$ и $$b$$; б) прямоугольного треугольника с катетом $$a$$ и противолежащим углом $$\alpha$$; в) равнобедренного треугольника с основанием $$a$$ и высотой $$h$$, проведённой к основанию.
- Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые рёбра пирамиды, если её высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.
а) У прямоугольника диагонали равны и пересекаются в середине, значит диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника. Тогда
$$d=\sqrt{a^2+b^2}, \qquad R=\frac d2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$
Следовательно, площадь круга:
$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\right)^2=\frac{\pi(a^2+b^2)}{4}.$$
б) В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности. Если катет, противолежащий углу $$\alpha$$, равен $$a$$, то
$$\sin \alpha=\frac{a}{AB}, \qquad AB=\frac{a}{\sin \alpha}.$$
Тогда
$$R=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2\sin \alpha},$$
и площадь круга равна
$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{a}{2\sin \alpha}\right)^2=\frac{\pi a^2}{4\sin^2 \alpha}.$$
в) Проведём высоту $$BH$$ к основанию $$AC$$. Так как треугольник равнобедренный, то $$H$$ — середина основания, значит
$$AH=HC=\frac a2.$$
Пусть $$O$$ — центр описанной окружности. Он лежит на оси симметрии треугольника, то есть на прямой $$BH$$. Обозначим радиус окружности через $$R$$. Тогда
$$BO=R,\qquad OH=BH-BO=h-R.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OCH$$:
$$OC^2=OH^2+HC^2,$$
то есть
$$R^2=(h-R)^2+\left(\frac a2\right)^2.$$
Раскроем скобки:
$$R^2=h^2-2hR+R^2+\frac{a^2}{4},$$
$$2hR=h^2+\frac{a^2}{4},$$
$$R=\frac{4h^2+a^2}{8h}.$$
Тогда площадь описанного круга:
$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{4h^2+a^2}{8h}\right)^2=\frac{\pi(4h^2+a^2)^2}{64h^2}.$$
Ответ: а) $$\frac{\pi(a^2+b^2)}{4}$$; б) $$\frac{\pi a^2}{4\sin^2\alpha}$$; в) $$\frac{\pi(4h^2+a^2)^2}{64h^2}$$.
