Упр.1206 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз? Докажите, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды (т. е. сумма площадей её боковых граней) равна половине произведения периметра основания на апофему.

Подробный ответ

Площадь круга выражается формулой $$S=\pi R^2.$$

а) Если радиус увеличить в $$k$$ раз, то новый радиус будет равен $$R_1=kR.$$ Тогда

$$S_1=\pi (kR)^2=k^2\pi R^2.$$

Следовательно,

$$\frac{S_1}{S}=\frac{k^2\pi R^2}{\pi R^2}=k^2,$$

то есть площадь круга увеличится в $$k^2$$ раз.

б) Если радиус уменьшить в $$k$$ раз, то новый радиус будет равен $$R_2=\frac{R}{k}.$$ Тогда

$$S_2=\pi\left(\frac{R}{k}\right)^2=\frac{\pi R^2}{k^2}.$$

Следовательно,

$$\frac{S_2}{S}=\frac{\pi R^2/k^2}{\pi R^2}=\frac{1}{k^2},$$

то есть площадь круга уменьшится в $$k^2$$ раз.

Докажем формулу для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Пусть $$h$$ — апофема пирамиды, а $$a_1,a_2,\dots,a_n$$ — стороны основания. Каждая боковая грань правильной пирамиды — равнобедренный треугольник с высотой $$h$$, поэтому площадь каждой грани равна

$$S_i=\frac{1}{2}a_i h.$$

Тогда площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней:

$$ S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}a_1h+\frac{1}{2}a_2h+\cdots+\frac{1}{2}a_nh =\frac{1}{2}h(a_1+a_2+\cdots+a_n). $$

Но $$a_1+a_2+\cdots+a_n=P$$, где $$P$$ — периметр основания. Значит,

$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}Ph.$$

Это и требовалось доказать.