Упр.1199 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Расстояние между серединами зубьев зубчатого колеса, измеренное по дуге окружности, равно 47,1мм. Диаметр’колеса равен 450 мм. Сколько зубьев имеет колесо? Найдите объём прямой призмы АВСА1В1С1, если угол BAC= 120°, АВ = 5см, АС = 3 см, а наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2.

1) Найдём сторону $$BC$$ треугольника $$ABC$$ по теореме косинусов:

$$ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle BAC $$

$$ BC^2=5^2+3^2-2\cdot 5\cdot 3\cdot \cos 120^\circ =25+9-30\cdot \left(-\frac12\right)=49 $$

Следовательно, $$BC=7$$ см.

2) Наибольшая боковая грань — это прямоугольник с основанием $$BC$$ и высотой призмы $$BB_1$$. Тогда

$$ S_{BCB_1C_1}=BC\cdot BB_1=35 $$

$$ 7\cdot BB_1=35 \Rightarrow BB_1=5\text{ см} $$

3) Найдём площадь основания призмы:

$$ S_{\triangle ABC}=\frac12 AB\cdot AC\cdot \sin \angle BAC $$

$$ S_{\triangle ABC}=\frac12\cdot 5\cdot 3\cdot \sin 120^\circ =\frac{15}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2} =\frac{15\sqrt3}{4} $$

4) Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:

$$ V=S_{\triangle ABC}\cdot BB_1 =\frac{15\sqrt3}{4}\cdot 5 =\frac{75\sqrt3}{4}\text{ см}^3 $$

Ответ

$$V=\frac{75\sqrt3}{4}\text{ см}^3$$