Упр.1198 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если её градусная мера равна: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°. Докажите, что объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Подробный ответ

Длина дуги окружности вычисляется по формуле

$$l=\frac{2\pi R}{360^\circ}\cdot \alpha=\frac{\pi R}{180^\circ}\cdot \alpha.$$

При $$R=6\text{ см}$$ получаем

$$l=\frac{\pi\cdot 6}{180^\circ}\cdot \alpha=\frac{\pi}{30}\alpha.$$

Тогда:

а) при $$\alpha=30^\circ$$

$$l=\frac{\pi}{30}\cdot 30=\pi\text{ см};$$

б) при $$\alpha=45^\circ$$

$$l=\frac{\pi}{30}\cdot 45=\frac{3\pi}{2}\text{ см};$$

в) при $$\alpha=60^\circ$$

$$l=\frac{\pi}{30}\cdot 60=2\pi\text{ см};$$

г) при $$\alpha=90^\circ$$

$$l=\frac{\pi}{30}\cdot 90=3\pi\text{ см}.$$

Докажем, что объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Рассмотрим призму и прямоугольный параллелепипед с одинаковыми площадями оснований $$S$$ и одинаковой высотой $$h$$. По принципу Кавальери любые сечения, параллельные основаниям, имеют равные площади, значит, объёмы этих тел равны.

Для прямоугольного параллелепипеда объём равен

$$V=Sh.$$

Следовательно, и объём призмы равен

$$V=Sh,$$

что и требовалось доказать.