Упр.1193 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного треугольника со стороной а; б) прямоугольного треугольника с катетами а и b; в) равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b; г) прямоугольника с меньшей стороной а и острым углом ос между диагоналями; д) правильного шестиугольника, площадь которого равна 24корень3 см2. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны а) 1, 1, 2; б) 8, 9, 12; в) корень39, 7, 9.

а) Для правильного треугольника радиус описанной окружности равен

$$R=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Тогда длина окружности:

$$C=2\pi R=2\pi\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2\pi a\sqrt{3}}{3}.$$

б) В прямоугольном треугольнике гипотенуза

$$AB=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Центр описанной окружности — середина гипотенузы, значит

$$R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$

Следовательно,

$$C=2\pi R=\pi\sqrt{a^2+b^2}.$$

в) В равнобедренном треугольнике $$AC=a,$$ $$AB=BC=b.$$

Пусть $$H$$ — середина основания $$AC$$. Тогда

$$AH=\frac{a}{2},$$

а в прямоугольном треугольнике $$BHC$$:

$$BH=\sqrt{BC^2-HC^2}=\sqrt{b^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2}.$$

Радиус описанной окружности:

$$R=\frac{BC\cdot BH}{BH\cdot 2}=\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}.$$

Тогда

$$C=2\pi R=\frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}.$$

г) Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник, $$AB=a,$$ а $$\angle BOD=\alpha$$, где $$O$$ — центр описанной окружности.

Диагонали прямоугольника равны и пересекаются в середине, поэтому $$O$$ — середина диагоналей, а $$R=OA.$$

В равнобедренном треугольнике $$AOB$$ отрезок $$OH$$, опущенный на $$AB$$, является медианой и биссектрисой, поэтому

$$\angle BOH=\frac{\alpha}{2}, \qquad BH=\frac{a}{2}.$$

Из прямоугольного треугольника $$BOH$$:

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{BH}{BO}=\frac{a/2}{R}.$$

Отсюда

$$R=\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}.$$

Следовательно,

$$C=2\pi R=\frac{\pi a}{\sin\frac{\alpha}{2}}.$$

д) Для правильного шестиугольника

$$S=\frac{1}{2}Pr,$$

где $$P=6a_6$$ — периметр, $$r$$ — апофема. Для правильного шестиугольника

$$a_6=R,$$

а площадь выражается через радиус описанной окружности так:

$$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2.$$

По условию

$$24\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2,$$

откуда

$$R^2=16,\qquad R=4\text{ см}.$$

Тогда длина окружности:

$$C=2\pi R=8\pi\text{ см}.$$

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

Используем формулу пространственной диагонали:

$$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$

а)

$$d=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}.$$

б)

$$d=\sqrt{8^2+9^2+12^2}=\sqrt{289}=17.$$

в)

$$d=\sqrt{(\sqrt{39})^2+7^2+9^2}=\sqrt{39+49+81}=\sqrt{169}=13.$$

Ответ

а) $$\frac{2\pi a\sqrt{3}}{3}$$; б) $$\pi\sqrt{a^2+b^2}$$; в) $$\frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}$$; г) $$\frac{\pi a}{\sin\frac{\alpha}{2}}$$; д) $$8\pi\text{ см}$$; диагональ параллелепипеда: а) $$\sqrt{6}$$; б) $$17$$; в) $$13$$.