Упр.1184 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно $$1{,}5\ \text{см}$$. Найдите площадь основания.
- Сколько граней, рёбер и вершин имеет: а) прямоугольный параллелепипед; б) тетраэдр; в) октаэдр?
Для правильного шестиугольника расстояние между параллельными гранями равно удвоенной апофеме, то есть
$$MN=2r.$$
Так как $$MN=1{,}5\text{ см},$$ получаем
$$r=\frac{1{,}5}{2}=0{,}75\text{ см}.$$
Для правильного шестиугольника
$$r=R\cos 30^\circ,$$
где $$R$$ — радиус описанной окружности. Тогда
$$0{,}75=R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2},$$
откуда
$$R=\frac{1{,}5}{\sqrt{3}}\text{ см}.$$
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности:
$$a=R=\frac{1{,}5}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{ см}.$$
Площадь правильного шестиугольника:
$$S=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$
Подставим $$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$$:
$$S=6\cdot \frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\sqrt{3}}{4} =6\cdot \frac{\frac{3}{4}\sqrt{3}}{4} =\frac{9\sqrt{3}}{8}\text{ см}^2.$$
Ответ: $$\frac{9\sqrt{3}}{8}\text{ см}^2.$$
