Упр.1183 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите площадь $$S$$ правильного $$n$$-угольника, если:
   а) $$n=4$$, $$R=3\sqrt{2}\text{ см}$$;
   б) $$n=3$$, $$P=24\text{ см}$$;
   в) $$n=6$$, $$r=9\text{ см}$$;
   г) $$n=8$$, $$r=5\sqrt{3}\text{ см}$$.
2. Даны параллельные прямые $$b$$ и $$c$$ и точка $$A$$, не лежащая ни на одной из них. Постройте равносторонний треугольник $$ABC$$ так, чтобы вершины $$B$$ и $$C$$ лежали соответственно на прямых $$b$$ и $$c$$. Сколько решений имеет задача?

а) Для правильного $$4$$-угольника со стороной $$a$$ имеем

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{4}=2\cdot 3\sqrt2\cdot \sin45^\circ=2\cdot 3\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=6\text{ см}.$$

Тогда

$$P=4a=4\cdot 6=24\text{ см},$$

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{4}=3\sqrt2\cdot \cos45^\circ=3\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=3\text{ см}.$$

Площадь правильного многоугольника:

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 24\cdot 3=36\text{ см}^2.$$

б) Для правильного треугольника

$$a=\frac{P}{3}=\frac{24}{3}=8\text{ см}.$$

Из формулы $$a=2R\sin60^\circ$$ получаем

$$8=2R\cdot \frac{\sqrt3}{2},$$

откуда

$$R=\frac{8}{\sqrt3}\text{ см}.$$

Тогда

$$r=R\cos60^\circ=\frac{8}{\sqrt3}\cdot \frac12=\frac{4}{\sqrt3}\text{ см}.$$

Следовательно,

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 24\cdot \frac{4}{\sqrt3}=\frac{48}{\sqrt3}=16\sqrt3\text{ см}^2.$$

в) Для правильного шестиугольника

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{6}=R\cos30^\circ,$$

значит

$$9=R\cdot \frac{\sqrt3}{2}, \qquad R=\frac{18}{\sqrt3}\text{ см}.$$

Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности:

$$a=2R\sin30^\circ=2\cdot \frac{18}{\sqrt3}\cdot \frac12=\frac{18}{\sqrt3}\text{ см}.$$

Тогда периметр

$$P=6a=6\cdot \frac{18}{\sqrt3}=36\sqrt3\text{ см}.$$

И площадь

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 36\sqrt3\cdot 9=162\sqrt3\text{ см}^2.$$

г) Для правильного восьмиугольника

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{8}=R\cos22^\circ30′,$$

откуда

$$R=\frac{5\sqrt3}{\cos22^\circ30′}.$$

Сторона

$$a=2R\sin22^\circ30′ = 2\cdot \frac{5\sqrt3}{\cos22^\circ30′}\sin22^\circ30′ = 10\sqrt3\tg22^\circ30′.$$

Тогда

$$P=8a=80\sqrt3\tg22^\circ30′.$$

Используя $$\tg22^\circ30’\approx 0{,}4142,$$ получаем

$$P\approx 80\sqrt3\cdot 0{,}4142\approx 33{,}136\sqrt3.$$

Следовательно,

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 33{,}136\sqrt3\cdot 5\sqrt3\approx 248{,}52\text{ см}^2.$$

Ответ: а) $$36\text{ см}^2$$; б) $$16\sqrt3\text{ см}^2$$; в) $$162\sqrt3\text{ см}^2$$; г) $$248{,}52\text{ см}^2$$.