Упр.1182 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Около правильного треугольника описана окружность радиуса R. Докажите, что R = 2r, где r — радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Используя параллельный перенос, постройте трапецию по её основаниям и диагоналям.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — правильный треугольник со стороной $$a$$. Тогда радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен

$$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен

$$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

Найдём отношение этих радиусов:

$$ \frac{R}{r}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}=\frac{6}{3}=2. $$

Следовательно,

$$R=2r.$$

Построение трапеции по её основаниям $$a$$ и $$b$$ и диагоналям $$d_1$$ и $$d_2$$:

Проведём прямую и отметим на ней точку $$A$$. Отложим на этой прямой отрезок $$AD=b$$.
Построим окружности с центрами в точках $$A$$ и $$D$$ радиусами соответственно $$d_2$$ и $$d_1$$. Их точку пересечения обозначим $$B$$.
Через точку $$B$$ проведём прямую, параллельную прямой $$AD$$.
На этой прямой отложим от точки $$B$$ отрезок $$BC=a$$.
Соединим точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$.

Получим трапецию $$ABCD$$, у которой $$AB \parallel CD$$, основания равны $$a$$ и $$b$$, а диагонали равны $$d_1$$ и $$d_2$$.