Упр.1181 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см. Даны две пересекающиеся прямые и точка О, не лежащая ни на одной из них. Используя центральную симметрию, постройте прямую, проходящую через точку О, так, чтобы отрезок этой прямой, отсекаемый данными прямыми, делился точкой О пополам.

Пусть сторона правильного шестиугольника равна $$a$$. Тогда его периметр:

$$P=6a.$$

По условию $$P=48$$ см, значит

$$6a=48,\qquad a=8\text{ см}.$$

У правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус вписанной окружности равен апофеме. Рассмотрим треугольник $$QOF$$, где $$O$$ — центр окружности, а $$QF$$ — сторона шестиугольника. Центральный угол, опирающийся на одну сторону правильного шестиугольника, равен

$$\angle QOF=\frac{360^\circ}{6}=60^\circ.$$

Так как $$OQ=OF$$, то треугольник $$QOF$$ равнобедренный, а при вершине $$O$$ угол равен $$60^\circ$$. Следовательно, треугольник $$QOF$$ равносторонний, и

$$OQ=QF=a=8\text{ см}.$$

Радиус окружности равен расстоянию от центра до стороны шестиугольника, то есть

$$r=OQ=8\text{ см}.$$

Квадрат описан около той же окружности, значит его сторона равна диаметру окружности:

$$AB=2r=16\text{ см}.$$

Тогда периметр квадрата:

$$P_{ABCD}=4\cdot 16=64\text{ см}.$$

Ответ

$$64\text{ см}$$