Упр.1180 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной $$6\ \text{см}$$. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска.
- В окружность с центром $$O$$ вписаны два равносторонних треугольника $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$, причём вершины обозначены так, что направление обхода по дуге $$ABC$$ от точки $$A$$ к точке $$C$$ совпадает с направлением обхода по дуге $$A_1B_1C_1$$ от точки $$A_1$$ к точке $$C_1$$. Используя поворот вокруг точки $$O$$, докажите, что прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ либо проходят через точку $$O$$, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.
Рассмотрим поворот вокруг точки $$O$$ на $$120^\circ$$. При таком повороте вершина $$A$$ переходит в $$B$$, вершина $$B$$ — в $$C$$, а вершина $$C$$ — в $$A$$.
Так как треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равносторонние и вписаны в одну и ту же окружность, то при этом же повороте точка $$A$$ переходит в $$B_1$$, значит, прямая $$AA_1$$ переходит в прямую $$BB_1$$. Аналогично прямая $$BB_1$$ переходит в $$CC_1$$, а $$CC_1$$ — в $$AA_1$$.
Если прямая $$AA_1$$ проходит через центр $$O$$, то по симметрии через точку $$O$$ проходят и прямые $$BB_1$$ и $$CC_1$$.
Если же прямая $$AA_1$$ не проходит через $$O$$, то и прямые $$BB_1$$ и $$CC_1$$ не проходят через $$O$$. Тогда при попарном пересечении эти прямые образуют углы по $$60^\circ$$, поскольку поворот на $$120^\circ$$ переводит одну из них в другую. Следовательно, треугольник, образованный прямыми $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$, равносторонний.
Ответ: прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ либо проходят через точку $$O$$, либо при пересечении образуют равносторонний треугольник.
