Упр.1178 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность. На сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD построены квадраты так, как показано на рисунке 332. Используя параллельный перенос, докажите, что отрезок, соединяющий центры этих квадратов, равен и параллелен стороне AD.

Подробный ответ

1) Так как $$\triangle ABC$$ — равносторонний, то

$$AB=BC=AC,$$

а по условию $$P_{ABC}=18\text{ см}.$$ Тогда

$$AB=\frac{18}{3}=6\text{ см}.$$

2) Радиус описанной окружности равностороннего треугольника равен

$$R=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Следовательно,

$$R=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\text{ см}.$$

3) Для квадрата, вписанного в окружность, диагональ равна диаметру окружности, то есть

$$d=2R=4\sqrt{3}\text{ см}.$$

Если сторона квадрата равна $$x,$$ то его диагональ

$$d=x\sqrt{2}.$$

Тогда

$$x=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{6}\text{ см}.$$

Ответ

$$2\sqrt{6}\text{ см}.$$

Ход решения

1) Рассмотрим параллельный перенос на вектор $$\overrightarrow{AD}.$$ Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то

$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.$$

Квадраты $$AA_1B_1B$$ и $$DD_1C_1C$$ построены на сторонах $$AB$$ и $$DC,$$ а в параллелограмме $$AB=DC.$$ Значит, при переносе на вектор $$\overrightarrow{AD}$$ квадрат $$AA_1B_1B$$ переходит в квадрат $$DD_1C_1C.$$

2) Следовательно, центр $$O$$ первого квадрата переходит в центр $$O_1$$ второго квадрата. При параллельном переносе отрезок переходит в равный и параллельный ему отрезок, значит

$$OO_1 \parallel AD,$$

$$OO_1=AD.$$

Таким образом, отрезок, соединяющий центры этих квадратов, равен и параллелен стороне $$AD.$$