Упр.1177 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: На рисунке 311,6 изображён правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а3 — сторона треугольника, Р — периметр треугольника, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности). Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 являются соответственно серединами отрезков AM, ВМ и СМ. Докажите, что треугольник А1В1С1 = треугольник А2В2С2.

Для правильного треугольника справедливы формулы:

$$a=R\sqrt{3}, \qquad r=\frac{R\sqrt{3}}{2}, \qquad P=3a, \qquad S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

1) $$R=3$$

$$a=R\sqrt{3}=3\sqrt{3},$$
$$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{6}=\frac{9}{6}=1{,}5,$$
$$P=3a=3\cdot 3\sqrt{3}=9\sqrt{3},$$
$$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{4}.$$

2) $$S=10$$

$$a=\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}=\sqrt{\frac{40}{\sqrt{3}}}=2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}},$$
$$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{2}{3}\sqrt{10\sqrt{3}},$$
$$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{3}\sqrt{10\sqrt{3}},$$
$$P=3a=6\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}.$$

3) $$r=2$$

$$a=\frac{6r}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3},$$
$$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3}=4,$$
$$P=3a=12\sqrt{3},$$
$$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=12\sqrt{3}.$$

4) $$a=5$$

$$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3},$$
$$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{5\sqrt{3}}{6},$$
$$P=3a=15,$$
$$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}.$$

5) $$P=6$$

$$a=\frac{P}{3}=2,$$
$$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3},$$
$$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},$$
$$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}.$$

Теперь докажем равенство треугольников $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$.

Так как $$M$$ — точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$, то она делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Значит,
$$MA_1=MA_2,\qquad MB_1=MB_2,\qquad MC_1=MC_2,$$
поскольку точки $$A_2,\ B_2,\ C_2$$ являются серединами отрезков $$AM,\ BM,\ CM$$ соответственно.

Следовательно, точки $$A_1$$ и $$A_2$$ симметричны относительно точки $$M$$, так же как $$B_1$$ и $$B_2$$, $$C_1$$ и $$C_2$$. При центральной симметрии относительно $$M$$ треугольник $$A_1B_1C_1$$ переходит в треугольник $$A_2B_2C_2$$. Значит, эти треугольники равны.

Ответ

$$R=3,\ r=1{,}5,\ a=3\sqrt{3},\ P=9\sqrt{3},\ S=\frac{27\sqrt{3}}{4};$$
$$R=\frac{2}{3}\sqrt{10\sqrt{3}},\ r=\frac{1}{3}\sqrt{10\sqrt{3}},\ a=2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}},\ P=6\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}},\ S=10;$$
$$R=4,\ r=2,\ a=4\sqrt{3},\ P=12\sqrt{3},\ S=12\sqrt{3};$$
$$R=\frac{5\sqrt{3}}{3},\ r=\frac{5\sqrt{3}}{6},\ a=5,\ P=15,\ S=\frac{25\sqrt{3}}{4};$$
$$R=\frac{2\sqrt{3}}{3},\ r=\frac{\sqrt{3}}{3},\ a=2,\ P=6,\ S=\sqrt{3}.$$

$$\triangle A_1B_1C_1=\triangle A_2B_2C_2.$$