Упр.1174 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.
- Докажите, что два прямоугольника равны, если:
а) смежные стороны одного прямоугольника соответственно равны смежным сторонам другого;
б) сторона и диагональ одного прямоугольника соответственно равны стороне и диагонали другого.
Пусть $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ — два прямоугольника.
а)
Если $$AB=A_1B_1$$ и $$AD=A_1D_1$$, то в прямоугольниках
$$CD=AB,\quad BC=AD,$$
$$C_1D_1=A_1B_1,\quad B_1C_1=A_1D_1.$$
Следовательно,
$$CD=C_1D_1,\quad BC=B_1C_1.$$
Значит, у прямоугольников попарно равны смежные стороны, поэтому $$ABCD \cong A_1B_1C_1D_1$$.
б)
Пусть $$AB=A_1B_1$$ и $$BD=B_1D_1$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle A_1B_1D_1$$. У них
$$AB=A_1B_1,\quad BD=B_1D_1.$$
Кроме того, $$\angle A=\angle A_1=90^\circ$$, значит, это прямоугольные треугольники с равными катетом и гипотенузой. Тогда
$$\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1,$$
откуда
$$AD=A_1D_1.$$
Теперь в прямоугольниках $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ равны смежные стороны:
$$AB=A_1B_1,\quad AD=A_1D_1.$$
Следовательно, $$ABCD \cong A_1B_1C_1D_1$$.
Ответ: в обоих случаях прямоугольники равны.
