Упр.1173 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона, равна: а) 60°; б) 30°; в) 90°; г) 36°; д) 18°; е) 72°? При данном движении каждая из вершин треугольника ABC отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя.

Подробный ответ

Сторона правильного вписанного многоугольника стягивает равную ей дугу описанной окружности. Все такие дуги равны между собой, а их сумма равна $$360^\circ$$. Поэтому, если дуга, стягиваемая одной стороной, равна $$\alpha$$, то число сторон многоугольника

$$n=\frac{360^\circ}{\alpha}.$$

Тогда:

а) $$n=\frac{360^\circ}{60^\circ}=6;$$

б) $$n=\frac{360^\circ}{30^\circ}=12;$$

в) $$n=\frac{360^\circ}{90^\circ}=4;$$

г) $$n=\frac{360^\circ}{36^\circ}=10;$$

д) $$n=\frac{360^\circ}{18^\circ}=20;$$

е) $$n=\frac{360^\circ}{72^\circ}=5.$$

Пусть при данном движении каждая вершина треугольника $$ABC$$ переходит в себя. Докажем, что любая точка плоскости также переходит в себя.

Возьмём произвольную точку $$D$$ плоскости и обозначим её образ через $$D_1$$. Предположим, что $$D_1\ne D$$. Тогда при движении треугольник $$ABD$$ перейдёт в равный ему треугольник $$ABD_1$$.

Но точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ остаются неподвижными, значит, движение сохраняет треугольник $$ABC$$. Получаем противоречие с тем, что точка $$D$$ перешла в другую точку $$D_1$$ при неподвижных вершинах треугольника. Следовательно, $$D_1=D$$.

Так как точка $$D$$ была произвольной, любая точка плоскости отображается на себя.