Упр.1172 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен: а) 60°; б) 90°; в) 135°; г) 150°? При данном движении каждая из двух точек А и В отображается на себя. Докажите, что любая точка прямой АВ отображается на себя.

Подробный ответ

Для правильного n-угольника внутренний угол выражается формулой

$$\alpha=\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ.$$

Тогда

$$\alpha n=(n-2)\cdot 180^\circ,$$

$$\alpha n=180^\circ n-360^\circ,$$

$$360^\circ=n(180^\circ-\alpha),$$

откуда

$$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-\alpha}.$$

Подставим данные значения угла:

а) $$\alpha=60^\circ,$$ тогда

$$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-60^\circ}=\frac{360^\circ}{120^\circ}=3.$$

б) $$\alpha=90^\circ,$$ тогда

$$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-90^\circ}=\frac{360^\circ}{90^\circ}=4.$$

в) $$\alpha=135^\circ,$$ тогда

$$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-135^\circ}=\frac{360^\circ}{45^\circ}=8.$$

г) $$\alpha=150^\circ,$$ тогда

$$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-150^\circ}=\frac{360^\circ}{30^\circ}=12.$$

Теперь докажем второе утверждение.

Пусть при данном движении точки $$A$$ и $$B$$ переходят в себя. Возьмём произвольную точку $$C$$ прямой $$AB$$. Предположим, что она переходит в точку $$C_1,$$ не лежащую на прямой $$AB.$$

Тогда точки $$A, B, C_1$$ не лежат на одной прямой, значит, они образуют треугольник $$ABC_1.$$ Но при движении отрезок переходит в отрезок, поэтому отрезок $$AB$$ должен перейти в отрезок $$AB,$$ а точка $$C$$ — в точку, лежащую на прямой $$AB.$$ Это противоречит предположению, что $$C_1$$ не лежит на $$AB.$$

Следовательно, любая точка прямой $$AB$$ отображается на себя.