Упр.1171 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу? Постройте прямую а1, которая получается из данной прямой а поворотом вокруг точки О на угол 60° по часовой стрелке, если прямая а: а) не проходит через точку О; б) проходит через точку О.

Подробный ответ

1) В правильном $$n$$-угольнике каждый внешний угол равен

$$\beta=180^\circ-\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ=\frac{360^\circ}{n}.$$

Тогда сумма всех внешних углов равна

$$n\cdot \beta=n\cdot \frac{360^\circ}{n}=360^\circ.$$

2) Построение прямой $$a_1$$, получающейся из прямой $$a$$ поворотом вокруг точки $$O$$ на $$60^\circ$$ по часовой стрелке.

а) Если $$O\notin a$$. Возьмём на прямой $$a$$ две любые точки $$A$$ и $$B$$. Построим отрезки $$AO$$ и $$BO$$. В точке $$O$$ от лучей $$OA$$ и $$OB$$ отложим углы по $$60^\circ$$ по часовой стрелке и на соответствующих лучах отметим точки $$A_1$$ и $$B_1$$ так, чтобы

$$OA_1=OA,\qquad OB_1=OB.$$

Тогда прямая, проходящая через точки $$A_1$$ и $$B_1$$, и есть искомая прямая $$a_1$$.

б) Если $$O\in a$$. Возьмём на прямой $$a$$ точку $$A$$. Построим отрезок $$AO$$ и в точке $$O$$ от луча $$OA$$ отложим угол $$60^\circ$$ по часовой стрелке. На полученном луче отметим точку $$A_1$$ так, чтобы

$$OA_1=OA.$$

Прямая, проходящая через точки $$O$$ и $$A_1$$, является искомой прямой $$a_1$$.