Упр.1169 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что любой правильный четырёхугольник является квадратом. Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90° квадрат отображается на себя.

Пусть $$ABCD$$ — правильный четырёхугольник, а точка $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

Так как в правильном четырёхугольнике все стороны равны и все углы равны, то каждый его угол равен $$90^\circ$$. Значит, $$ABCD$$ — прямоугольник. Кроме того, все стороны равны, следовательно, это ромб. Четырёхугольник, который является и прямоугольником, и ромбом, есть квадрат.

Теперь докажем второе утверждение. В квадрате диагонали пересекаются и делятся пополам, значит, точка $$O$$ — центр квадрата и центр описанной окружности. При повороте квадрата вокруг точки $$O$$ на $$90^\circ$$ каждая вершина переходит в соседнюю вершину: $$A \to B$$, $$B \to C$$, $$C \to D$$, $$D \to A$$.

Действительно, квадрат делит окружность, описанную около него, на четыре равные дуги, а каждая такая дуга соответствует центральному углу

$$\frac{360^\circ}{4}=90^\circ.$$

Следовательно, поворот вокруг точки $$O$$ на $$90^\circ$$ переводит квадрат сам в себя.

Ответ

Любой правильный четырёхугольник является квадратом. При повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на $$90^\circ$$ квадрат отображается на себя.