Упр.1168 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; б) треугольник является правильным, если все его углы равны; в) любой равносторонний треугольник является правильным; г) любой четырёхугольник с равными сторонами является правильным? Ответ обоснуйте. Точка D является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника ABC. Докажите, что при повороте вокруг точки D на угол 120° треугольник ABC отображается на себя.

Подробный ответ

1) Проверим утверждения.

а) Неверно. Выпуклый многоугольник с равными сторонами не обязательно правильный: у правильного многоугольника должны быть равны не только стороны, но и углы.

б) Верно. Если в треугольнике все углы равны, то каждый из них равен $$60^\circ$$, значит, треугольник равносторонний, а следовательно, правильный.

в) Верно. В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны, значит, он является правильным.

г) Неверно. Четырёхугольник с равными сторонами может не иметь равных углов, например ромб, поэтому он не обязательно правильный.

Итак, верны утверждения б) и в).

2) Пусть $$D$$ — точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника $$ABC$$.

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, поэтому точка $$D$$ является центром описанной окружности треугольника $$ABC$$.

Тогда вершины $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на окружности с центром в точке $$D$$, а дуги между соседними вершинами равны, так как треугольник равносторонний. Следовательно, окружность делится на три равные дуги:

$$\frac{360^\circ}{3}=120^\circ.$$

Поворот вокруг точки $$D$$ на угол $$120^\circ$$ переводит каждую вершину треугольника в следующую вершину: $$A \to B$$, $$B \to C$$, $$C \to A$$. Значит, при таком повороте треугольник $$ABC$$ отображается на себя.