Упр.1164 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Подробный ответ

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AB=BC$$. Через точку $$B$$ проведём прямую, параллельную $$AC$$, и на ней отметим точку $$B_1$$ так, чтобы $$BB_1=CD$$. Соединим точки $$B_1$$ и $$D$$.

Докажем, что $$ABB_1D$$ — равнобедренная трапеция.

Так как $$BB_1 \parallel AC$$, а точки $$C$$ и $$D$$ лежат на прямой $$AC$$, то $$BB_1 \parallel CD$$. Кроме того, по построению $$BB_1=CD$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$BB_1CD$$. В нём одна пара противоположных сторон равна и параллельна, значит $$BB_1CD$$ — параллелограмм. Тогда

$$B_1D=BC.$$

Теперь в четырёхугольнике $$ABB_1D$$ имеем $$BB_1 \parallel AD$$, так как $$BB_1 \parallel AC$$ и точки $$A, C, D$$ лежат на одной прямой. Следовательно, $$ABB_1D$$ — трапеция.

Осталось показать, что её боковые стороны равны:

$$AB=B_1D,$$

поскольку $$AB=BC$$ по условию, а $$B_1D=BC$$, как было доказано выше.

Значит, $$ABB_1D$$ — равнобедренная трапеция.