Упр.1162 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Точка М лежит на стороне ВС треугольника ABC и ВМ = kMC. Докажите, что (1 + k)2 AM2 = k2b2 + 2bck cos A + c2, где b = AC, c = AB. Начертите отрезок АВ и вектор ММ1. Постройте отрезок А1В1, который получается из отрезка АВ параллельным переносом на вектор ММ1.

Так как $$M \in BC$$ и $$BM=k\cdot MC,$$ то

$$BM=k(BC-BM).$$

Отсюда

$$BM=\frac{k}{1+k}\,BC.$$

Вектор $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB},$$ поэтому

$$\overrightarrow{BM}=\frac{k}{1+k}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right).$$

Тогда по правилу треугольного сложения векторов

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$$

и значит

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{k}{1+k}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right) =\frac{1}{1+k}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{1+k}\overrightarrow{AC}.$$

Следовательно,

$$ (1+k)\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}. $$

Возведём обе части в квадрат:

$$ (1+k)^2 AM^2=(\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC})^2. $$

Раскроем скобки:

$$ (1+k)^2 AM^2=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} +2k\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} +k^2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}. $$

Так как $$AB=c,$$ $$AC=b,$$ а угол между векторами $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ равен $$\angle A,$$ то

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=c^2,\qquad \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}=b^2,\qquad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=bc\cos A.$$

Подставляя, получаем

$$ (1+k)^2 AM^2=c^2+2bck\cos A+k^2b^2. $$

То есть

$$ (1+k)^2 AM^2=k^2b^2+2bck\cos A+c^2, $$

что и требовалось доказать.

Для построения отрезка $$A_1B_1,$$ получающегося из $$AB$$ параллельным переносом на вектор $$\overrightarrow{MM_1},$$ достаточно построить точки $$A_1$$ и $$B_1$$ так, чтобы

$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{MM_1}.$$

Построение:

1. Через точки $$A$$ и $$B$$ проведём прямые, параллельные вектору $$\overrightarrow{MM_1}.$$
2. Построим окружности с центрами в точках $$A$$ и $$B$$ радиусом $$MM_1.$$
3. На проведённых прямых отметим точки $$A_1$$ и $$B_1$$ в направлении вектора $$\overrightarrow{MM_1},$$ для которых $$AA_1=BB_1=MM_1.$$
4. Соединим точки $$A_1$$ и $$B_1.$$ Получим искомый отрезок.

Ответ

$$ (1+k)^2 AM^2=k^2b^2+2bck\cos A+c^2. $$

Отрезок $$A_1B_1$$ строится параллельным переносом отрезка $$AB$$ на вектор $$\overrightarrow{MM_1}.$$